Question

Sectiunea axiala ABB'A' a unui trunchi de con este un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare si cu AB = 12cm.Inaltimea conului din care provine piramina este de 12 cm. Sa se afle raza bazei mici a trunchiului de con.

Answer 1

Pentru ca imi este greu sa adaug acel prim cand scriu, o sa notez sectiunea axiala CD in loc de $A^{\prime}B^{\prime}$ dar lucrurile stau apoi echivalent
Duci diagonalele AC si BD ale trapezului isoscel. Observam ca se formeaza triunghiurile: ABD si ABC. Ambele au o latura comuna: AB, doua laturi congruente: AD=BC(lateralele trapezului) si unghiul dintre ele egal, proprietate a trapezului isoscel$\angle{DAB}=\angle{ABC}$ Atunci cele doua triunghiuri sunt congruente, de unde rezulta ca si ultimele laturi sunt congruente: BD=AC, adica diagonalele trapezului

Stim ca AC si BD sunt perpendiculare: notam intersectia lor cu O. Atunci: AO este perpendicular pe BD, si este inaltime in triunghiul ABD
De asemenea, BO este perpendicular pe AC si este inaltime in triunghiul ABC. ABD si ABC sunt congruente, atunci ariile triunghiurilor sunt egale, si le putem scrie:
$A_{ABD}=A_{ABC}\Rightarrow\frac{AO*BD}{2}=\frac{BO*AC}{2}\Rightarrow AO=BO$ pentru ca deja stim ca BD=AC.
mai stim ca: OD=BD-OB=AC-OA=OC. 
Din ultimele doua egalitati rezulta ca: AOB este triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale AO=BO si ipotenuza AB
AOC triunghi dreptunghic isoscel cu catetele egale OD=OC si ipotenuza CD
Ducem inaltimile din O in cele doua triunghiuri: sa spunem OM perpendicular pe AB, si ON perpendicular pe CD. Pentru ca sunt inaltimi in triunghiuri isoscele, inseamna ca sunt si mediane: M este mijlocul lui AB si N este mijlocul lui CD
Sa vedem cat ar avea lungimea o inaltime intr-un triunghi dreptunghic isoscel. Stiind ca AO=BO atunci din Teorema lui Pitagora
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}=2*OA^{2}\Rightarrow OA^{2}=\frac{<span>AB^{2}}{2}</span>$
Stim ca aria unui triunghi dreptunghic se poate calcula in doua moduri: o data cu produsul catetelor, sau in mod normal cu inaltimea*inmultita cu ipotenuza:
$\frac{OA*OB}{2}=\frac{OM*AB}{2}\Rightarrow OM=\frac{OA*OB}{AB}=\frac{OA^{2}}{AB}=\frac{AB^{2}}{2AB}=\frac{AB}{2}$
Deci am demonstrat ca inaltimea intr-un triunghi dreptunghic este jumatate din ipotenuza. 
In mod similar, rezulta atunci ca:
$ON=\frac{CD}{2}$
OM si ON sunt perpendiculare pe doua drepte paralele: AB, respectiv CD. Atunci inseamna ca OM si ON fie sunt paralele, fie sunt coliniare. Dar au un punct in comun, deci sunt coliniare.
Atunci: $NM=ON+OM=\frac{CD}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{CD+AB}{2}$

Consideram V ca fiind varful conului. Daca ducem inaltimea din V pe baza cercului mare AB, atunci aceasta ar cadea la mijlocul lui AB, pentru ca VAB este un triunghi isoscel, VA=VB, si inaltimea in triunghiul isoscel este si mediana. Dar stim deja ca M este mijlocul lui AB, deci VM este perpendicular pe AB, fiind inaltime in VAB VM este si inaltimea conului, deci VM=12
In mod similar, luand triunghiul VCD, ajungem la concluzia ca VN este perpendicular pe CD. Din nou, VN si VM sunt perpendiculare pe doua drepte paralele, AB si CD, si au un punct comun V, deci sunt coliniare, cu tot cu MN, si atunci rezulta ca:
VM=VN+NM sau VN=VM-NM=12-NM
Triunghiurile VCD si VAB sunt asemenea: unghiul din varf este acelasi $\angle{CVD}=\angle{AVB}$ si ambele triunghiuri sunt isoscele, deci restul unghiurilor vor fi egale intre ele. Atunci, triunghiurile fiind asemenea, urmatoarele relatii stim ca sunt egale
$\frac{VN}{VM}=\frac{CD}{AB}\Rightarrow \frac{VM-NM}{VM}=\frac{CD}{12}\Rightarrow \frac{12-NM}{12}=\frac{CD}{12}\Rightarrow 12-NM=CD\Rightarrow CD=12-\frac{AB+CD}{2}\Rightarrow 2CD=24-(12+CD)\Rightarrow 2CD=12-CD\Rightarrow CD=\frac{12}{3}=4$
CD este diametrul cercului mic, atunci raza lui, fiind jumatate din diametru, are valoarea 2.