Question

Segmentul Ab nu intersecteaza planul a si este impartit de punctele M si N in trei segmente congurente:AM , MN, NB. Prin extremitatile segmentului AB si prin punctele M si N sunt trasate drepte paralele ce intresecteaa planu a in punctele A1,B1,M1, si respectiv N1.
sa se aflu lungimile segmentelor MM1, NN1, daca se stie ca AA1=16 cm BB1=4 CM

Answer 1

   
In Figura 1 ABB1A1 este un trapez oarecare cu bazele AA1 || BB1 si AA1 > BB1.
Planul trapezului face un unghi oarecere cu panul a.  Intersectia dintre planul trapezului cu planul a este dreapta  A1B1.
Trapezul contine dreptele MM1 si NN1 astfel incat AA1 || MM1 || NN1 || BB1  si aceste paralele sunt  echidistante. 

Analizam trapezul in Figura 2.
BB1 = 4 cm
AA1 = 16 cm
Din B ducem segmentul BC cu C ∈ AA1 si BC || B1A1.

Segmentul BC imparte trapezul in doua parti astfel:
paralelogramul BB1A1C  si triunghiul ABC

BC se intersecteaza cu MM1 si NN1  in punctele M' respectiv N'.
In paralelogramul BB1A1C avem:
BB1 = N'N1 = M'M1 = CA1  = 4 cm

In ΔABC avem:
AC = AA1 - CA1 = 16 - 4 = 12 cm
BN = NM = MA   ⇒  BN / BA = 1/3  si   BM / BA = 2 / 3
NN' || MM' || AC

Aplicam teorema lui Thales pentru fiecare din segmentele  NN' si MM'.

BN / BA = NN' / AC = 1/3    si AC = 12 cm
⇒ NN' = AC × 1 / 3 = 12 / 3 = 4 cm 
NN1 = NN' + N'N1 = 4 cm + 4 cm = 8 cm

BM / BA = MM' / AC = 2 / 3   si AC  = 12 cm
⇒  MM' = AC × 2 / 3 = 12 × 2 / 3 = 24 / 3 = 8 cm
MM1 = MM' + M'M1 = 8 cm + 4 cm = 12 cm 

Raspuns:  
NN1 = 8 cm
MM1 = 12 cm