Question

Simplificați expresia:
$E(x)=\dfrac{-5x^2-9x+2}{x^2+6x+8}.$
Mulțumesc.

Answer 1

Salut,

Metoda 1, a simplificării cu ajutorul factorului comun:

$E(x)=\dfrac{-5x^2-9x+2}{x^2+6x+8}=-\dfrac{5x^2+9x-2}{x^2+6x+8}=-\dfrac{5x^2+10x-x-2}{x^2+4x+2x+8}=\\\\=-\dfrac{5x(x+2)-(x+2)}{x(x+4)+2(x+4)}=-\dfrac{(x+2)(5x-1)}{(x+4)(x+2)}=-\dfrac{5x-1}{x+4}=\dfrac{1-5x}{x+4}.$

Pentru ca expresia să se poată simplifica cu x + 2, trebuie ca x ≠ 2, iar expresia finală are sens pentru x ∈ R \ {--4}.

Metoda 2 (expresia funcției de gradul al II-lea pe baza soluțiilor ecuației f(x) = 0):

Numărătorul și numitorul sunt funcții de gradul al II-lea, iar forma generală a funcției de gradul al II-lea este:

f(x) = ax² + bx + c, unde a ≠ 0.

Dacă cunoaștem soluțiile ecuației f(x) = 0, atunci funcția mai poate fi scrisă așa:

f(x) = a(x -- x₁)(x -- x₂).

Începem cu numărătorul:

f₁(x) = --5x² -- 9x + 2, deci a₁ = --5, b₁ = --9 și c₁ = 2.

Discriminantul Δ₁ este:

Δ₁ = b₁² -- 4a₁c₁ = (--9)² -- 4·(--5)·2 = 81 + 40 = 121 = 11².

Soluțiile ecuației f₁(x) = 0, sunt:

$x_{1,2}=\dfrac{-b_1\pm\sqrt{\Delta_1}}{2a_1}=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{11^2}}{2\cdot (-5)}=\dfrac{9\pm 11}{-10}.$

Din cele de mai sus avem că: x₁ = --2/--10 = 1/5 și x₂ = --2.

Așadar:

f₁(x) = (--5)·(x -- 1/5)(x + 2) = (--5x + 1)(x + 2) = (1 -- 5x)(x + 2) (1).

Mai avem numitorul:

f₂(x) = x² + 6x + 8, deci a₂ = +1, b₂ = 6 și c₂ = 8.

Discriminantul Δ₂ este:

Δ₂ = b₂² -- 4a₂c₂ = 6² -- 4·1·8 = 36 -- 32 = 4 = 2².

Soluțiile ecuației f₂(x) = 0, sunt:

$x_{1,2}=\dfrac{-b_2\pm\sqrt{\Delta_2}}{2a_2}=\dfrac{-6\pm\sqrt{2^2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-6\pm 2}{2}.$

Din cele de mai sus avem că: x₁ = --8/2 = --4 și x₂ = --2.

Așadar:

f₂(x) = 1·(x + 4)(x + 2) = (x + 4)(x + 2) (2).

Având în vedere relațiile (1) și (2) de mai sus, expresia E(x) din enunț devine:

$E(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}=\dfrac{1-5x}{x+4}$,

pentru că x + 2 s-a simplificat, în condițiile în care x nu ia valoarea --2.

Ai înțeles rezolvarea ? Care dintre metode este mai simplă, mai accesibilă, mai bună ?

Green eyes.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

E(x) = [-5(x - 1/5)(x + 2)]/[(x + 4)(x + 2)] = -5(x - 1/5)/(x + 4) = (-5x + 1)(x + 4)