Question

Sirul an = (1 +2 +3 +...+n) / n^2
a)Studiati monotonia , marginirea si convergenta acestui sir
b)lim n-> infinit din ( 2 an ) ^ radical din ( n^2 + 2017)

Answer 1

suma s=1+2+...n=n(n+1)/2=(n^2+n)/2
deci
an=1/2 *(1+1/n) sir convergent, cu liman=1/2* lim(1+1/n)=1/2*(1+0)=1/2
el este mărginit deoarece
1/2<an<=1
este și strict descrescător ( deoarece an+1<an pentru orice n: 1/2(1+1/(n+1))<1/2(1+1/n) adică n+1>n ceea ce este evident adevărat)
un șir strict monoton și. mărginit este convergent.

lim2an^√(n^2+2017)= lim(1+1/n)^√(n^2+2017)=lim(1+1/n)^[n√(n^2+2017)]/n=lim[(1+1/n)^n]^√(n^2+2017)/n=e^[lim√(1+2017/n^2)=e^(1+0)=e