Question

(Sp) « In figura alăturată. ABCD este un tetraedru regulat care are suma lungi-
milor muchilor egală cu 6 cm. Distanţa de la punctul A la planul
BCD este egală cu:
a) 1 cm;
b) 2 cm;
c) 2rad6;
d)rad 2 pe 3

Answer 1

un tetraedru are 6 muchii egale ⇒ AB = 6:6 = 1 cm

notam cu AO⊥(BCD), O∈(BCD)

ΔBCD este echilateral ⇒ O este centrul de greutate

• apotema bazei este:

$a_{b} = \dfrac{\ell\sqrt{3} }{6} = \dfrac{AB\sqrt{3} }{6} = \dfrac{\sqrt{3} }{6} \ cm$

• apotema tetraedrului este înălțime în ΔACD echilateral:

$a_{p} = \dfrac{\ell\sqrt{3} }{2} = \dfrac{AB\sqrt{3} }{2} = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \ cm$

• înălțimea tetraedrului este:

$h = \sqrt{\bigg(\dfrac{\sqrt{3} }{2}\bigg)^{2} - \bigg(\dfrac{\sqrt{3} }{6}\bigg)^{2}} = \sqrt{\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{36}} = \sqrt{\dfrac{24}{36}} = \bf \sqrt{\dfrac{2}{3}} \ cm$