Spunem ca un numar natural n este deosebit daca exista numerele naturale m si p nenule diferite astfel încat n+m+p=2020 a)Aratati ca numarul 2010 este deosebit b)aratati ca numarul 2018 nu este deosebit c)aratati ca exista numere distincte deosebite x si y pentru care numarul x+y nu este deosebit Dau 100 de puncte
Răspunsuri la întrebare
Datele problemei:
n - număr natural
n este "deosebit" dacă există m și p două nr. naturale distincte, diferite de 0, astfel încât
n + m + p = 2020
a) n=2010
m+p=2020-2010=10
m,p sunt nenule, diferite
10 poate fi scris ca sumă de 2 numere diferite:
10 = 1+9 = 2+8 = 3+7 = 4+6
perechile de numere (m,p) distincte, diferite de 0, pot fi: (1,9); (2,8); (3,7); (4,6); (6,4); (7,3); (8,2); (9,1) => numărul 2010 este "deosebit"
b) n = 2018
m+p=2020-2018=2
2 = 1+1 sau 0+2
dar numerele m și p trebuie să fie nenule (diferite de 0) și distincte
=> numărul 2018 NU este "deosebit"
c) un număr natural n NU este număr "deosebit" dacă diferența dintre 2020 și numărul n (care este egală cu m+p) nu se poate scrie decât ca sumă de două numere identice sau ca sumă dintre un număr nenul și 0
Numărul 0 se poate scrie doar ca sumă dintre 0 și 0
Numărul 1 se poate scrie doar ca sumă dintre 0 și 1.
Numărul 2 se poate scrie doar ca sumă dintre 1 și 1 sau 2 și 0.
=> m+p nu poate fi 0, 1 sau 2
{ Dar m+p poate fi orice număr mai mare sau egal cu 3.
3 = 1+2 = 2+1 (factorii sumei sunt distincți și nenuli)
Observație: m+p=3, m=0 și p=3 nu convine! }
=> pentru a fi număr "deosebit", n nu poate fi 2020, 2019 sau 2018, dar poate fi orice număr natural mai mic sau egal cu 2017
x+y nu este număr "deosebit" => x+y poate fi 2018, 2019 sau 2020
x și y sunt numere "deosebite", ceea ce înseamnă că trebuie să fie diferite de 2020, 2019 și 2018
Pentru x+y=2018, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2018) sau (2018,0) sau (1009,1009).
Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2018 este soluție a problemei.
Exemplu: x=420, y=1598
Pentru x+y=2019, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2019) sau (2019,0).
Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2019 este soluție a problemei.
Exemplu: x=421, y=1598
Pentru x+y=2020, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2020) sau (2020,0) sau (1010,1010).
Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2018 este soluție a problemei.
Exemplu: x=422, y=1598
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Un număr nu este deosebit în cazul prezentat (n+m+p=2020) dacă m,p sunt egale.
a) dacă n=2010
Cum n+m+p=2020, înseamnă că m+p=10
Cum m+p=10 poate să fie scris în 9 posibilități { m,p diferit de 0 și apartine de N (numere naturale) | m,n pot sa fie numere de la 1 la 9}
Cazurile lui m,p: m=1,p=9; m=2,p=8; m=3, p=7; m=4,p=6; m=5,p=5; m=6,p=4; m=7,p=3; m=8,p=2, m=9,p=1;
Cazul m=5,p=5 este special pentru că sunt egale .
Având în vedere că avem 8 cazuri în care m și p nu sunt egale. Avem nevoie de doar de un caz ca m și p să nu fie egale ca un număr să fie deosebit, deci 2010 este un număr deosebit.
b) dacă n=2018
n+m+p=2020 => m+p=2020-n=2020-2018=2
Cum m și p sunt nenule, asta înseamnă că m=p
m+p=m+m=2m=2=> m=1=p
Asta face ca 2018 să nu fie deosebit pentru că m și p sunt egale cu 1
c) Fie x,y
x y
x,y sunt numere deosebite
Există x,y astfel încât x+y să nu fie deosebit?
Formulă n+m+p=2020.
Trebuie observate anumite lucruri precum că n nu poate fi 2019/2020 pentru că ar însemna m sau p să fie egal/egale cu 0; iar n=2018 este singurul număr care nu este deosebit pentru că e singurul caz când m și p sunt egale, respectiv cu 1. În restul cazurilor n este deosebit când este număr natural și când este mai mic de 2018.
Asta înseamnă că:
x+y=2018 (xy, x,y trebuie să fie deosebite)
Având numerele x și y ajungem la expresii precum x+xm+xp=2020 și y+ym+yp=2020, care face ca x și y să fie numere naturale .Sunt 2018 cazuri în care x+y=2018. Cazurile care trebuie evitat sunt perechea x,y să fie egală cu 0 și 2018, deoarece 2018 nu este număr deosebit și cazul în care x=y=1014 pentru că n-au voie să fie egale. În rest toate cazurile care fac ca x+y=2018, x,y < 2018 sunt bune.
Exemplu: x=1,y=2017
x+y=2018, 2018 care nu este număr deosebit din formula (n+m+p) și 1 și 2017 care sunt numere deosebite.