Matematică, întrebare adresată de ericsebastiann27, 8 ani în urmă

Spunem ca un numar natural n este deosebit daca exista numerele naturale m si p nenule diferite astfel încat n+m+p=2020 a)Aratati ca numarul 2010 este deosebit b)aratati ca numarul 2018 nu este deosebit c)aratati ca exista numere distincte deosebite x si y pentru care numarul x+y nu este deosebit Dau 100 de puncte


Carturesti: ce inseamna deosebit

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de MoscuTeodora
8

Datele problemei:

n - număr natural

n este "deosebit" dacă există m și p două nr. naturale distincte, diferite de 0, astfel încât

n + m + p = 2020

a) n=2010

m+p=2020-2010=10

m,p sunt nenule, diferite

10 poate fi scris ca sumă de 2 numere diferite:

10 = 1+9 = 2+8 = 3+7 = 4+6

perechile de numere (m,p) distincte, diferite de 0, pot fi: (1,9); (2,8); (3,7); (4,6); (6,4); (7,3); (8,2); (9,1) => numărul 2010 este "deosebit"

b) n = 2018

m+p=2020-2018=2

2 = 1+1 sau 0+2

dar numerele m și p trebuie să fie nenule (diferite de 0) și distincte

=> numărul 2018 NU este "deosebit"

c) un număr natural n NU este număr "deosebit" dacă diferența dintre 2020 și numărul n (care este egală cu m+p) nu se poate scrie decât ca sumă de două numere identice sau ca sumă dintre un număr nenul și 0

Numărul 0 se poate scrie doar ca sumă dintre 0 și 0

Numărul 1 se poate scrie doar ca sumă dintre 0 și 1.

Numărul 2 se poate scrie doar ca sumă dintre 1 și 1 sau 2 și 0.

=> m+p nu poate fi 0, 1 sau 2

{ Dar m+p poate fi orice număr mai mare sau egal cu 3.

3 = 1+2 = 2+1 (factorii sumei sunt distincți și nenuli)

Observație: m+p=3, m=0 și p=3 nu convine! }

=> pentru a fi număr "deosebit", n nu poate fi 2020, 2019 sau 2018, dar poate fi orice număr natural mai mic sau egal cu 2017

x+y nu este număr "deosebit" => x+y poate fi 2018, 2019 sau 2020

x și y sunt numere "deosebite", ceea ce înseamnă că trebuie să fie diferite de 2020, 2019 și 2018

Pentru x+y=2018, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2018) sau (2018,0) sau (1009,1009).

Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2018 este soluție a problemei.

Exemplu: x=420, y=1598

Pentru x+y=2019, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2019) sau (2019,0).

Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2019 este soluție a problemei.

Exemplu: x=421, y=1598

Pentru x+y=2020, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2020) sau (2020,0) sau (1010,1010).

Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2018 este soluție a problemei.

Exemplu: x=422, y=1598


ericsebastiann27: Multumesc!
Răspuns de adidum4
4

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Un număr nu este deosebit în cazul prezentat (n+m+p=2020) dacă m,p sunt egale.

a) dacă n=2010

Cum  n+m+p=2020, înseamnă că m+p=10

Cum m+p=10 poate să fie scris în 9 posibilități { m,p diferit de 0 și apartine de N (numere naturale) | m,n pot sa fie numere de la 1 la 9}

Cazurile lui m,p: m=1,p=9; m=2,p=8; m=3, p=7; m=4,p=6; m=5,p=5; m=6,p=4; m=7,p=3; m=8,p=2, m=9,p=1;

Cazul m=5,p=5 este special pentru că sunt egale .

Având în vedere că avem 8 cazuri în care m și p nu sunt egale. Avem nevoie de doar de un caz ca m și p să nu fie egale ca un număr să fie deosebit, deci 2010 este un număr deosebit.

b) dacă n=2018

n+m+p=2020 => m+p=2020-n=2020-2018=2

Cum m și p sunt nenule, asta înseamnă că m=p

m+p=m+m=2m=2=> m=1=p

Asta face ca 2018 să nu fie deosebit pentru că m și p sunt egale cu 1

c) Fie x,y

x \neq y

x,y sunt numere deosebite

Există x,y astfel încât x+y să nu fie deosebit?

Formulă n+m+p=2020.

Trebuie observate anumite lucruri precum că n nu poate fi 2019/2020 pentru că ar însemna m sau p să fie egal/egale cu 0; iar n=2018 este singurul număr care nu este deosebit pentru că e singurul caz când m și p sunt egale, respectiv cu 1. În restul cazurilor n este deosebit când este număr natural și când este mai mic de 2018.

Asta înseamnă că:

x+y=2018 (x\neqy, x,y trebuie să fie deosebite)

Având numerele x și y ajungem la expresii precum x+xm+xp=2020 și y+ym+yp=2020, care face ca x și y să fie numere naturale .Sunt 2018 cazuri în care x+y=2018. Cazurile care trebuie evitat sunt perechea x,y să fie egală cu 0 și 2018, deoarece 2018 nu este număr deosebit și cazul în care x=y=1014 pentru că n-au voie să fie egale. În rest toate cazurile care fac ca x+y=2018, x,y < 2018 sunt bune.

Exemplu: x=1,y=2017

x+y=2018, 2018 care nu este număr deosebit din formula (n+m+p) și 1 și 2017 care sunt numere deosebite.

Alte întrebări interesante