Question

Stabiliti carui interval apartine fiecare din numerele x,y,z,daca:
a) X2+y2+z2+46=2(3x+4y+5z)
b) X2+y2+z2-2(x+2y+3z)=2
c) X2+4y2+z2=2(6y+2z-x)+11
d) X2+4y2+z2+13=4(3y+2z-x)

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} + 46 = 2(3x + 4y + 5z)$

${x}^{2} - 2\cdot3x + 9 + {y}^{2} - 2\cdot4y + 16 + {z}^{2} - 2 \cdot5 z + 25 - 4 = 0$

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 4$

→

$- 2 \leqslant x - 3 \leqslant 2 \\ 1 \leqslant x \leqslant 5$

$- 2 \leqslant y - 4 \leqslant 2 \\ 2 \leqslant y \leqslant 6$

$- 2 \leqslant z - 5 \leqslant 2 \\ 3 \leqslant z \leqslant 7$

b)

${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - 2(x + 2y + 3z) = 2$

${x}^{2} - 2x + 1 + {y}^{2} - 4y + 4 + {z}^{2} - 2 \cdot 3z + 9 = 2 + 14$

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$

→

$- 4 \leqslant x - 1 \leqslant 4 \\ - 3 \leqslant x \leqslant 5$

$- 4 \leqslant y - 2 \leqslant 4 \\ - 2 \leqslant y \leqslant 6$

$- 4 \leqslant z - 3 \leqslant 4 \\ - 1 \leqslant z \leqslant 7$

c)

${x}^{2} + {4y}^{2} + {z}^{2} = 2(6y + 2z - x) + 11$

${x}^{2} + 2x + 1 + {4y}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot3y + 9 + {z}^{2} - 2\cdot2 z + 4 = 11 + 14$

${(x + 1)}^{2} + {(2y - 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 25$

→

$- 5 \leqslant x + 1 \leqslant 5 \\ - 6 \leqslant x \leqslant 4$

$- 5 \leqslant 2y - 3 \leqslant 5 \\ - 2 \leqslant 2y \leqslant 8 < = > - 1 \leqslant y \leqslant 4$

$- 5 \leqslant z - 2 \leqslant 5 \\ - 3 \leqslant z \leqslant 7$

d)

${x}^{2} + {4y}^{2} + {z}^{2} + 13 = 4(3y + 2z - x)$

${x}^{2} + 4x + 4 + {4y}^{2} - 12y + 9 + {z}^{2} - 8z + 16 - 14 = 0$

${(x + 2)}^{2} + {(2y - 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 14$

→

$- \sqrt{14} \leqslant x + 2 \leqslant \sqrt{14} \\ - \sqrt{14} - 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{14} - 2$

$- \sqrt{14} \leqslant 2y - 3 \leqslant \sqrt{14} \\ 3- \sqrt{14} \leqslant 2y \leqslant 3 + \sqrt{14} \\ \frac{3 - \sqrt{14} }{2} \leqslant y \leqslant \frac{ 3 + \sqrt{14} }{2}$

$- \sqrt{14} \leqslant z - 4 \leqslant \sqrt{14} \\ 4 - \sqrt{14} \leqslant z \leqslant 4 + \sqrt{14}$