Question

Stabiliti carui interval apartine fiecare dintre numerele x, y, z, daca: a) x^2+y^+ z^2+46= 2(3x+4y+ 5z).
Va rog mult sa mi explicati ce si de unde obtineti fiecare rezultat. Multumesc!

Answer 1

x²+y²+z²+46 = 6x + 8y + 10z

(x²- 6x + 9) + (y²- 8y + 16) + (z²- 10z + 25) - 4 = 0

(x²- 2·3x + 9) + (y²- 2·4y + 16) + (z²- 2·5z + 25) - 4 = 0

(x-3)² + (y-4)² + (z-5)² = 4

______________________

=> 0 ≤ (x-3)² ≤ 4 | √

|x-2| ≤ 2

=> -2 ≤ x-2 ≤ 2 | +2

0 ≤ x ≤ 4

=> x ∈ [0;4]

_______________________

=> 0 ≤ (y-4)² ≤ 4 | √

|y-4| ≤ 2

=> -2 ≤ y-4 ≤ 2 | +4

2 ≤ y ≤ 6

=> y ∈ [2;6]

_______________________

=> 0 ≤ (z-5)² ≤ 4 | √

|z-5| ≤ 2

=> -2 ≤ z-5 ≤ 2 | +5

3 ≤ z ≤ 7

=> z ∈ [3;7]

_______________

Pasii de rezolvare:

1. Treci termenii din dreapta in stanga cu semn schimbat. (x²+y²+z²+46-6x-8y-10z=0)

2. Cuplezi termenii astfel incat sa poti folosi formula de calcul prescurtat (a² - 2ab + b²) = (a-b)²

(Pentru ca 3² + 4² + 5² fac 50, iar noi avem doar 46, vom scadea 4 si il vom trece in dreapta cu semn schimbat)

3. Pui fiecare termen obtinut intre 0 (deoarece un patrat perfect este mai mare sau egal cu 0) si 4.

4. Extragem radicalul si vom pune (a-b) in modul si il incadram intre -2 si 2, apoi calculezi.