Question

Stabiliti ce relatie exista intre a sib:
a = 1 + 2+ 2^2+2^3+2^4+ ....+ 2^2011
b=3(1 + 4 + 4^2 + ... +4^1005)​

Answer 1

Răspuns:

a=b

Explicație pas cu pas:

Încercăm să calculăm diferit a și b.

Pentru a:

a = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹¹ |•2

2a = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰¹²

2a - a = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰¹² -

(1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹¹)

Observăm că dacă grupăm termenii convenabil, mulți dintre aceștia se reduc:

a = (2-2) + (2²-2²) + ... + (2²⁰¹¹-2²⁰¹¹) + 2²⁰¹² - 1

a = 0 + 0 + ... + 0 + 2²⁰¹² - 1

a = 2²⁰¹² - 1 => a+1 = 2²⁰¹² (relația 1)

Încercăm să calculăm într-un mod asemănător și suma b:

b = 3(1 + 4 + 4² + ... + 4¹⁰⁰⁵) |•4

4b = 3(4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰⁶)

4b - b = 3(4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰⁶)-

3(1 + 4 + 4² + ... + 4¹⁰⁰⁵)

3b = 3[(4-4) + (4²-4²) + ... + (4¹⁰⁰⁵-4¹⁰⁰⁵) + 4¹⁰⁰⁶ - 1]

3b = 3(0 + 0 + ... + 0 + 4¹⁰⁰⁶ - 1)

3b = 3(4¹⁰⁰⁶ - 1) |:3

b = 4¹⁰⁰⁶ - 1 => b+1 = 4¹⁰⁰⁶ = 2²⁰¹² (relația 2)

Din relațiile (1) și (2) => a+1=b+1=2²⁰¹² => a=b

Dacă ești interesat/ă, aceste tipuri de sume de pot calcula direct cu ajutorul unei formule.

Se definește șirul x(n) cu n€N* (adică x(1), x(2), ..., x(n)), cu x(1) dat, prin relația x(k)=q•x(k-1), unde k€{2, 3, ..., n}.

Șirul x(n) se numește progesie geometrică de rație q.

Atunci, suma termenilor șirului este:

S(n) = x(1) × (qⁿ-1)/(q-1)

Spre exemplu, aplicând formula pentru prima sumă:

( q=2 ; x(1)=1 ; n=2012)

S = 1 • (2²⁰¹²-1)/(2-1) = 2²⁰¹² - 1 (adevărat)