Question

stabiliti daca: a) 1+2+3+....+115 divizibil cu 5 b) 1+3+5+....+91 divizibil cu 2 c) 1+9+9^2+9^3+....+9^2003 divizibil cu 5 d)1+3+3^2+.....+3^2013 divizibil cu 2

Answer 1

a) 1+2+3+....+115 =115*116/2=6670;    ⇒ 5 | 6670

b) 1+3+5+....+91= (91+1)*46/2= 2116  ⇒ 2| 2116
2n-1=91
2n=92 |2
n=46

c) 9⁰+9+9²+9³+....+9²⁰⁰³=  (9²⁰⁰⁴-1) /8

9²⁰⁰⁴  se poate scrie si 9x9x9...x9 de 2014 ori..

9 la orice putrere para diferita de 0, are ultima cifra 1; iar la orice putere impara, ultima cifra 9
2004 este o putere para, deci prin urmare  9²⁰¹⁴ are cifra unitatilor 1.
9²⁰¹⁴ -1 = U(0) ...  Acest lucru cât si faptul ca este divizibil cu 8, dovedeste ca este divizibil cu 5.

d)3⁰+3¹+3²+.....+3²⁰¹³= (3²⁰¹⁴ - 1)/2 

U(3²⁰¹⁴)=  U( 3⁴)⁵⁰³ *3²=U(81)*U(9)=U(9)=9; deci 9-1=8; 2| 8