Question

stabiliti daca a=10^2015-7^4 este patrat perfect

Answer 1

deoarece orice patrat perfect este dupa una din formele
4a sau 8b+1

(deoarece daca n=2k n^2=4k^2=4a (a=k^2)
si daca n=2k+1 n^2=4k(k+1)+1
si deoarece k(k+1) este mereu par, poate sa fie b=k(k+1)/2
si rezulta n=8b+1
)

deci, daca demonstrez ca a nu este de forma 4a sau 8b+1
rezulta ca a nu este patrat perfect

deoarece a=1000....0000 -2401=99.....997599

se vede clar ca a nu este divizibil cu 4, deoarece pentru ca un numar sa fie divizibil cu 4, trebuie ca ultimele 2 cifre sa fie divizibile cu 4, iar 99 nu este divizibil cu 4
rezulta ca a nu este de forma 4a

singura posibilitate ramane ca a este de forma 8b+1
rezulta
9999....997599=8b+1
9999....997599-1=8b
9999....997598=8b

Criteriul de divizibilitate cu 8 este ca: daca ultimele 3 cifre se impart cu 8, atunci tot numarul se imparte cu 8, daca nu, inseamna ca nu se imparte

deci daca 598 nu se imparte cu 8, inseamna ca a nu se imparte cu 8, ceea ce inseamna ca a nu este de forma 8b+1

iar 598 nu se imparte cu 8, rezulta ca numarul a nu este nici de forma 8b+1

Deoarece numarul a nu este nici de forma 4a, nici de forma 8b+1 (cum toate celelalte patrate sunt de una din aceste forme)
Inseamna ca a nu este patrat perfect.