Question

stabiliti daca a este patrat perfect:
A=2012la puterea 2013 + 2013 la puterea 2014 + 2011 la puterea 2012

Answer 1

Cautam ultima cifra a numarului A.

Notez cu $U_{x}$ ultima cifra a lui x.

$U_{2 ^{n} } =2~-pentru~n= M_{4} +1 \\ ~~~~~~=4~-pentru~n= M_{4}+2 \\ ~~~~~~=8~-pentru~n= M_{4}+3 \\ ~~~~~~=6~-pentru~n= M_{4}$ (unde n≠0).

2013=4*503+1 => $U_{ 2012^{2013} } =2.$


$U_{ 3^{m} } =3~-pentru~m= M_{4}+1 \\ ~~~~~~=9~-pentru~m= M_{4}+2 \\ ~~~~~~=7~-pentru~m= M_{4}+3 \\ ~~~~~~=1~-pentru~m= M_{4}$

2014=4*503+2 => $U_{ 2013^{2014} } =9$

$U_{ 2011^{2012} }=1.$

Ultima cifra a lui A este egala cu ultima cifra a numarului (2+9+1), adica 2, dar un p.p. nu poate avea ultima cifra egala cu 2, deci A nu este patrat perfect.