Question

stabiliti daca a =
$\sqrt{9 - 4 \sqrt{5} } + \sqrt{9 + 4 \sqrt{5} }$
este numar intreg​

Answer 1

Aici trebuie sa observi ca radicalele sunt de fapt binoame.

Formula era:

${(x - y)}^{2} = {x}^{2} - 2xy + {y}^{2}$

Si atunci pe 4 il despartim in 2 × 2 si pe 9 in 4 + 5 (despartim asa pt ca radical din 5 la patrat este 5)

$\sqrt{9 - 4 \sqrt{5} } = \sqrt{4 + 5 - 2 \times 2 \sqrt{5} } = \sqrt{4 - 2 \times 2 \sqrt{5} + 5 } = \sqrt{ {(2 - \sqrt{5}) }^{2} } = |2 - \sqrt{5} |$

Observam ca radical din 5 este mai mare decat 2 (poti arata asta prin ridicare la patrat), deci:

$\sqrt{9 - 4 \sqrt{5} } = \sqrt{5} - 2$

Analog pentru al doilea termen

$\sqrt{9 + 4 \sqrt{5} } = \sqrt{4 + 2 \times 2 \sqrt{5} + 5 } = 2 + \sqrt{5}$

Pentru ca radical din 5 nu se simplifica, atunci a nu este numar intreg

$a = 2 \sqrt{5}$