Question

Stabiliti daca avem patrate perfecte. 2 la puterea 30 + 2 la puterea 15

Answer 1

Salut,

Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi 0, sau 1, sau 4, sau 5, sau 6, sau 9. Asta înseamnă că dacă ultima cifră a unui număr este 2, sau 3, sau 7, sau 8, atunci acel număr NU este pătrat perfect.

Notăm cu UC - ultima cifră.

UC(2⁰) = UC(1) = 1 (puterea lui 2 este de forma 4*0);

UC(2¹) = UC(2) = 2 (puterea lui 2 este de forma 4*0 + 1);

UC(2²) = UC(4) = 4 (puterea lui 2 este de forma 4*0 + 2);

UC(2³) = UC(8) = 8 (puterea lui 2 este de forma 4*0 + 3);

UC(2⁴) = UC(16) = 6 (puterea lui 2 este de forma 4*1);

UC(2⁵) = UC(32) = 2 (puterea lui 2 este de forma 4*1 + 1);

UC(2⁶) = UC(64) = 4 (puterea lui 2 este de forma 4*1 + 2);

UC(2⁷) = UC(128) = 8 (puterea lui 2 este de forma 4*1 + 3);

UC(2⁸) = UC(256) = 6 (puterea lui 2 este de forma 4*2).

Din cele de mai sus, observăm că ultima cifră se repetă după modelul 2, 4, 8, 6, apoi, din nou 2, 4, 8, 6 și tot așa mai departe.

De aici, putem generaliza:

-  dacă puterea este de forma 4k, atunci ultima cifră a puterii lui 2 este 6;

-  dacă puterea este de forma 4k + 1, atunci ultima cifră a puterii lui 2 este 2;

-  dacă puterea este de forma 4k + 2, atunci ultima cifră a puterii lui 2 este 4;

-  dacă puterea este de forma 4k + 3, atunci ultima cifră a puterii lui 2 este 8.

Acum că avem teoria scrisă, puterea 30 a lui 2 este de forma 30 = 4*7 + 2, deci ultima cifră a lui 2³⁰ este 4.

Apoi puterea 15 a lui 2 este de forma 15 = 4*3 + 3, deci ultima cifră a lui 2¹⁵ este 8.

De aici UC(2³⁰ + 2¹⁵) = UC(4 + 8) = UC(12) = 2, deci numărul din enunț NU este pătrat perfect.

Ai înțeles ?

Green eyes.