Question

stabiliți daca functiile de mai jos sunt injective

Answer 1

f:R→R a.i. f(x)=x² .

x=y => f(x)=f(y) ,f(y)=y² <=> x²=y² <=> x² -y² =0 => (x-y)·(x+y)=0 => x-y=0 <=> x=y => f(x)=f(y) sau x+y=0 => x=-y => f(-y)=f(y) ,contradictie deoarece pentru x=y => f(x)=f(y) nu f(-y)=f(y) ,deci f(x)=x² nu este injectiva .

g:R→R a.i. g(x)=x³ .

x=y => g(x)=g(y) ,g(y)=y³ <=> x³=y³ <=> x³ -y³=0 <=> (x-y)·(x² +xy +y²)=0 => x-y=0 <=> x=y => g(x)=g(y) iar x² +xy +y²=(x² +y²) +xy=(x+y)² -2xy+xy=(x+y)² -xy dar din inegalitatea mediilor stim ca x+y /2 >= √xy <=. (x+y)² >= 4xy => (x+y)² -xy >= 3xy > 0 (care nu poate fi 0 pentru x;y∈R₊) . Asadar avem in final x=y => g(x)=g(y) => g(x)=x³ este injectiva .