Question

stabiliti daca  numerele  urmatoare sunt prime: 97,123,379,451,603,769,997,1243,1993 si 1997

Answer 1

97, 379 , 769 , 997, 1993, 1997

Answer 2

In primul rand, stim ca un numar este compus daca se imparte la cel putin un numar prim mai mic decat el. Poti folosi, astfel, ciurul lui Eratostene, avand in vedere ca numerele sunt deja in ordine crescatoare.

Observatie: daca un nr N ar fi divizibil cu 2 (primul numar prim), inseamna ca numarul N=2* jumatatea numarului N.
Daca mai este un numar prim P >2 cu care se divide N, atunci N=P*Q, unde Q este mai mic decat jumatatea lui N (deoarece P>2 si inmultind in ambii membri cu 2, obtinem N=P*Q>2*Q, de unde N>2*Q, adica Q<N/2). Deci este suficient sa cautam factori numere prime mai mici decat jumatatea numerelor. Daca nu gasim nici unul care sa divida numarul dat, inseamna ca numarul este prim.

Si mai simplu: cautam divizori printre numerele prime mai mici sau egale cu radical din numarul dat (pentru ca daca N=P*P si daca am mai avea un nr Q>P care divide N, inseamna ca N=Q*S, unde Q>P si inmultind in ambii membri cu S avem: P*P=N=S*Q>S*P, deci P*P>S*P, deci S<P. Asadar, vedem ca oricarui factor mai mare ca radical din N ii corespunde un factor mai mic decat radical din N, deci este suficient sa cautam doar divizorii numere prime mai mici decat radical din N.

Astfel, gasim ca sunt prime numerele: 97, 379, 769, 997, 1993, 1997.
Celelalte numere sunt compuse, deoarece:
123=3*41
451=11*41
603=3*3*67
1243=11*13