Question

Stabiliti natura triunghiului ABC in care a+b=2c si sinA+sinB= radical din 3

​

Answer 1

Avem:

AB=b

AC=b

BC=a

a+b=2c

sinA+sinB=√3

• Teorema sinusului exprima o relatie de proportionalitate intre laturile triunghiului si sinusurile unghiurilor triunghiului

Laturile unui triunghi au lungimile a, b si c, iar unghiurile care se opun acestora sunt A, B și C

• Din teorema sinusului avem:

$\frac{a}{sinA} =\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC} =2R$

a=2RsinA

b=2RsinB

c=2RsinC

Stim ca a+b=2c

• Daca inlocuim obtinem:

2RsinA+2RsinB=2×2RsinC

2R(sinA+sinB)=4RsinC |:2R

sinA+sinB=2sinC

√3=2sinC

$sinC=\frac{\sqrt{3} }{2}$

C=60°

Stim ca sinA+sinB=√3

Dar stim ca:

$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2}$

• De asemenea, cunoastem ca suma unghiurilor unui triunghi este 180°, adica A+B+C=180°

A+B=180-60=120°

$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2} cos\frac{A-B}{2}\\\\\sqrt{3} =2sin60\times cos\frac{A-B}{2} \\\\\sqrt{3} =2\times\frac{\sqrt{3} }{2} \times cos\frac{A-B}{2}\\\\1=cos\frac{A-B}{2}$

$\frac{A-B}{2}=0$

A=B

Daca A=B si A+B=120°

A=B=60° si C=60°⇒ ΔABC echilateral