Question

Stabiliti paritatea functiilor:
b)f:Z->Z
f(k)=(-1)^k

Answer 1

f: Z->Z, f(k)=(-1)^k

Avem 4 cazuri: 

Cazul 1: k este numar par pozitiv
f(k)=(-1)^k=1
f(-k)=(-1)^(-k)=1/(-1)^k=1/1=1=f(k) => f este para

Cazul 2: k este numar impar pozitiv
f(k)=(-1)^k=-1
f(-k)=(-1)^(-k)=1/(-1)^k=1/-1=-1=f(k) => f este para

Cazul 3: k este numar par negativ
f(k)=(-1)^k=1/(-1)^k=1/1=1
f(-k)=(-1)^(-k)=1=f(k) => f e para

Cazul 4: k este numar impar negativ
f(k)=(-1)^k=-1
f(-k)=(-1)^k=-1=f(k) => f e para

Deci, oricare ar fi k din Z, functia f este para.

Answer 2

$f:\mathbb_{Z}\rightarrow \mathbb_{Z}, \quad f(k) = (-1)^k\\ \\ f(-k) = (-1)^{-k} = (-1)^{(-1)\cdot k} = \\ \\ = \Big((-1)^{-1}\Big)^k = \Big(\dfrac{1}{(-1)^1}\Big)^k = \\ \\=\Big(\dfrac{1}{-1}\Big)^k = (-1)^k \\ \\ \\ \Rightarrow f(-k) = f(k) \Rightarrow Functia este para, \forall k \in \mathbb_{Z}$