Question

Stiind cä a=1+2+3+...+2011,atunci a=? b)Stiind cä a=2+4+6+...+1980,atunci a=? c)Stiind cä a=15+16+17+...+988,atunci a=? d)Stiind cä a=1+3+5+...+997,atunci a=?

Answer 1

a=1+2+3+...+2011 aceasta este o suma gauss si aceste sume gauss au o formula specifica de rezolvare, si anume: n(n+1)/2 si in cazul nostru numarul natural n este 2011 deci 2011(2011+1)/2= 2011·2012/2 = 2023066 acesta este rezultatul calculului 1+2+3+...+2011 !
b) a=2+4+6+...+1980 aici nu este inca o suma gauss dar observam ca putem sa dam in factor pe 2 deci  2(1+2+3+...+990) in paranteza observam ca este o suma gauss deci putem rezolva acea suma cu formula de mai sus: 2[990(990+1)]/2=2(990·991)/2 = 2·490545 = 981090 acesta este rezultatul!
c)a = 15+16+17+...+988 aici tot nu este o suma gauss si nici nu putem scoate vreun factor comun , prin urmare vom adauga si vom scadea numerele de la 1 la 14, utile pentru a forma o suma gauss si rezulta ca suma va fi : (1+2+3+4+5+...+988) - 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14 = [988(988+1)]/2 - (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14) = (988·989)/2 - (1+2+3+...+14) = (494·989) - (14·15)/2 = 488566 - 210:2 = 488566 - 105 = 488461 acesta este rezultatul!
d) a=1+3+5+...+997 nici aici nu este inca o suma gauss , si nici nu putem scoate vreun factor comun , deci vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2.Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 2·y+1 unde y va diferi de la un numar la altul , iar 2, este contorul , sta pe loc. Sa incepem:
1= 2·0+1
3= 2·1+1
5= 2·2+1
.
.
.
997=2·499+1 ⇒ a= (2·0+1) + (2·1+1) + (2·2+1) + ... + (2·499+1) desfacem parantezele si regrupam termenii adunarii astfel :
                       a=2·0+2·1+2·2+...+2·499+1+1+1+1+1+...+1 aici 1 se aduna de 500 ori pt. ca ultimul termen al sumei cu care s-a inmultit cu 2 ,  si anume 997, este 499 iar pt . ca adunarea nu a pornit din 1 ci din 0 se mai adauga inca un 1 deci 499 +1⇒500! o sa dam in factor comun pe 2 ⇒ a= 0+2·(1+2+3+...+499)+500⇒ a = 2·(499·500):2+500⇒ a=499·500+500 ⇒ a=250000 acesta este rezultatul!