Matematică, întrebare adresată de mihai1259, 8 ani în urmă

Stiind ca functia f este inversabila , atunci :

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen
2

f(x) = x^3+x+1\\ \\ f^{-1}\Big(f(x)\Big) = x \,\Bigg|'\\ \\ \Big[f^{-1}\Big(f(x)\Big)\Big]' = x'\\ \\\text{Folosind regula lantului:}\\ \\(f^{-1})'\Big(f(x)\Big)\cdot f'(x) = 1\\ \\ \text{Fac }x = 1:\\ \\\Rightarrow(f^{-1})'(3)\cdot f'(1)= 1\\ \\\Rightarrow (f^{-1})'(3)\cdot 4 = 1\\ \\ \Rightarrow \boxed{4\cdot (f^{-1})'(3) = 1}


PeakyBlinder: Regula lantului? Ce-i aia?
Rayzen: Chain rule. Adică de exemplu fie y = u(x).
Rayzen: [f(y)]' = f'(y) • y'
Rayzen: Este o lege pentru derivarea funcțiilor compuse.
Rayzen: [f(g(x))]' = f'(g(x)) • g'(x)
Rayzen: Să zicem că nu notăm funcția cu g(x), o lasăm pur și simplu (3x²+2), iar f(x) o lasăm pur și simplu x², f(g(x)) = (3x²+2)², derivat înseamnă [f(g(x))]' = [(3x²+2)²]' = 2(3x²+2)•(3x²+2)', adică exact f'(g(x))•g'(x)
PeakyBlinder: E de facultate regula? Nu toti suntem (inca) la automatica :))))))
Rayzen: Cred că se învață și la liceu, în clasa a 11-a sau a 12-a, dar nu se pune mult accent pe ea. Dar ei îi spun regula de derivare a funcțiilor compuse ceva de genul.
Dar dacă se dă pentru admitere la facultate presupun că e în programă. Dar nu prea pun profesorii accent pe ea.
Rayzen: Am zis de 2 ori acelasi lucru, in aceeasi fraza, pff.
PeakyBlinder: :))))
Răspuns de baiatul122001
2

f(x)=x³+x+1   ;Dmax=R

f continua si derivabila pe Dmax(functie polinomiala)

f'(x)=3x²+1

f'(x)=0=>3x²+1=0

Δ=0-12=-12<0=>f'(x)>0,∀x∈Dmax=>f strict crescatoare pe Dmax si f continua pe Dmax=>f injectiva (1)

\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=\pm \infty

Imf=(-∞;+∞)=Dmax si f continua pe Dmax=>f surjectiva (2)

Din (1) si (2)=>f bijectiva=>∃f⁻¹:R->R si f derivabila pe Dmax=>f⁻¹ derivabila pe R

f(x₀)=3<=>x₀³+x₀+1=3<=>x₀³+x₀=2

Obs ca x₀=1 (solutie unica din bijectivitate)

f derivabil in 1 si f bijectiva si continua=>f⁻¹ derivabila in 3

(f⁻¹)'(3)=1/(f'(1))=1/(3+1)=1/4 |*4=>4(f⁻¹)'(3)=1

Alte întrebări interesante