Question

știind că în triunghiul ABC are loc relația $a^{2} + b^{2} = 2c^{2}$ , arătați că are loc egalitatea $cos^{2}A + cos^{2}B = 2cos^{2} C$ (a=BC, b=AC, c=AB)

Answer 1

cos²A +cos²B = 2cos²C ⇔ 1 - sin²A + 1 - sin²B = 2(1 - sin²C) ⇔

⇔ 2- (sin²A + sin²B) = 2 -2 sin²C ⇔ sin²A + sin²B = 2 sin²C   (*)


Din teorema sinusurilor, avem:


a/sinA = 2R ⇒ sinA = a/(2R) ⇒ sin²A = a²/(4R²)

b/sinB = 2R ⇒ sinB = b/(2R) ⇒ sin²B = b²/(4R²)

c/sinC = 2R ⇒ sinC = c/(2R) ⇒ sin²C = c²/(4R²)

Acum, relația (*) este echvalentă cu :

a²/(4R²) + b²/(4R²) = 2c²/(4R²) 

După ce înmulțim  ultima relație cu 4R²,  rezultă: 

a² + b² = 2c²

Deci: 

cos²A +cos²B = 2cos²C ⇔ a² + b² = 2c²