Question

Stiind ca numarul 2017 este prim, determinati numerele naturale x>y>z>u>v care verifica egalitatea
3 la puterea x-3 la y+3 la z -3 la u +3 la v=2017

Answer 1

$\it 3^x-3^y+3^z-3^u+3^v=2017$

Dacă v>0 ⇒ membrul stâng al egalității este multiplu al lui 3, deci și membrul drept (2017) ar trebui să fie multiplu al lui 3, ceea ce nu este adevărat. Deci v = 0 și egalitatea devine:

$\it 3^x-3^y+3^z-3^u+1=2017\Rightarrow 3^x-3^y+3^z-3^u =2016=3^2\cdot2^5\cdot7$

Deoarece membrul drept al ultimei egalități este multiplu al lui 3², va rezulta că și membrul stâng este un multiplu al lui 3², adică u=2.

Egalitatea devine:

$\it 3^x-3^y+3^z-3^2=3^2\cdot2^5\cdot7}|_{:3^2}\Rightarrow 3^{x-2}-3^{y-2}+3^{z-2}-1=224\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow 3^{x-2}-3^{y-2}+3^{z-2}=225 =3^2\cdot25$

Membrul drept al ultimei egalități este multiplu al lui 3²,  deci și membrul stâng este un multiplu al lui 3², adică z-2=2⇒ z=4.

Egalitatea devine:

$\it3^{x-2}-3^{y-2}+3^2 =3^2\cdot25|_{:3^2}\Rightarrow3^{x-4}-3^{y-4}+1=25\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow 3^{x-4}-3^{y-4}=24 =3\cdot8\Rightarrow y-4=1\Rightarrow y=5$

Egalitatea devine:

$\it3^{x-4} -3=3\cdot8}_{:3}\Rightarrow 3^{x-5}-1=8\Rightarrow3^{x-5}=9=3^2\Rightarrow x=7$