Question

Stiu ca este mult de calculat si sunt foarte  putine puncte,dar ma chinui dde cateva zile si nu imi dau seama cum sa o rezolv.Macar o idee

Answer 1

IDEEA este (1-x)/(1+x)=(1+x-2x)/(1+x)=1+2x/(1-x)

f'(x) =0+2 (x/(1+x))'=2(1+x-x)/(1+x)²=2/(1+x)²

f"(x) =-2*2/(1+x)³

f(3)(x)=+2*2*3/(1+x)^4

etc

(obs ..derivata de ordin (n) a lui 1 /(x+1) este analoga cucea alui 1/x caree (-1)^(n)*(n-1)!*/x^(n+1)

teretic ar trebui dedusa formula pt derivata de ordin n si demonstrata prin inductie apoi aplicat pt f(2013) (x)

apoi tinut cont ca integrala din derivata de ordin2013 este derivatde ordin 2012

si calculat apoi integrala definita....

dar speculam faptulca ne aflam la grila (si nu la grill de 1 Mai...) si obs ca b) este singura varianta de raspuns care contine factorial,deci este cea corecta si O VOM BIFA PE ACEASTA

(am fi fost nevoiti sa facem "cinstit" tot calculul daca ne dadeau mai multe raspunsuri cu factorial)

Answer 2

$\it f'(x) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} =-\dfrac{2\cdot1!}{(1+x)^2} \\ \\ \\ f''(x) = \dfrac{4}{(1+x)^3} = \dfrac{2\cdot2!}{(1+x)^3} \\ \\ \\ f'''(x) = -\dfrac{12}{(1+x)^3} = -\dfrac{2\cdot3!}{(1+x)^3}$

$\it f^{(4)} (x) = -\dfrac{48}{(1+x)^5} = -\dfrac{2\cdot4!}{(1+x)^5} \\ . \\ . \\ . \\ f^{(n)} (x) = (-1)^{n+1} \dfrac{2\cdot n!}{(1+x)^{n+1}} \ \ \ \ (*)$

  [tex]\it \int^1_0 f^{(2013)} (x) dx = f^{(2012)} (x)\Big{|}^1_0\ \stackrel{(*)}{=} \ -\dfrac{2\cdot2012!}{(1+x)^{2013}} \Big{|}^1_0 = \\ \\ \\ = -\dfrac{2\cdot2012!}{2^{2013}} + 2\cdot2012! = 2\cdot2012!\ \left(- \dfrac{1}{2^{2013}}+1\right)= \\ \\ \\ = 2\cdot2012!(-2^{-2013} +1) = 2\cdot2012!(1-2^{-2013} )[/tex]