Question

Studiați injectivitatea funcției f(x) = x^3 + 3x

Answer 1

f:R→R, f(x)=x³+3x, presupunem ca a≠b, dar f(a)=f(b) ⇔ a³+3a=b³+3b ⇔
a³-b³ +3(a-b)=0 ⇔(a-b)(a²+ab+b²)+3(a-b)=0 ⇔(a-b)(a²+ab+b²+3)=0, se obtine o data: a=b ceea ce e fals din ipoteza, a doua:  a²+ab+b²+3=0 considerata ca o ecuatie in raport cu necunoscuta a ( identic pentru b fiind simetrica in a si b), avem
Δa=b²-4(b²+3)=-3b²-12<0, deci e falsa relatia a²+ab+b²+3=0, ori care ar fi a,b∈R, deci presupunerea ca ar exista doua valori diferite pentru care functia ia aceeasi valoare e falsa ⇒ f(x) e injectiva.