Question

Studiati  marginirea sirurilor unde:

 a)[tex]a_{n}= \frac{n-1}{n+1}, \forall n\geq 1

 

a_{n}=\frac{n}{n ^{2} +1 }, \forall n\geq 1 [/tex]

Answer 1

a)Este recomandat sa determinam cateva valori particulare ale sirului.
$a_1=0;a_2=\frac{1}{3}=0,(3);a_3= \frac{2}{4} =0,5;a_4= \frac{3}{5} =0,6;...$
Deoarece [tex]n\geq1=>n-1\geq0=>a_n\geq0\\ a_n=\frac{n-1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}\leq1\\ 0\leq a_n\leq1=>a_n \ \ marginit[/tex]

b)[tex]a_1=\frac{1}{2}=0,5;a_2=\frac{2}{5}=0,4;a_3=\frac{3}{10}=0,3;...\\ a_n>0,\forall n\geq1\\ Aratam \ ca \ a_n\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{n}{n^2+1} \leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow \\ \frac{n}{n^2+1}-\frac{1}{2}\leq0\Leftrightarrow \frac{2n-n^2-1}{2(n^2+1)} \leq0\Leftrightarrow \\ \frac{-(n-1)^2}{2(n^2+1)} \leq0,\forall n\geq 1 \ (Adevarat)=>0<a_n\leq \frac{1}{2} =>a_n \ marginit[/tex]

Obs.Cele doua siruri sunt convergente avand limitele 1, respectiv 0.