Question

Sub III, va roh frumos..

Answer 1

III) 1) a)
f'(x)=(5x^3-15x+10)'=15x^2-15=15(x^2-1)
b)
f'(x)=0 => 15(x^2-1)=0
x^2-1=0 => x^2=1 => x1=1 si x2=-1
x |-∞_______________-1__________1___________∞
f' |+++++++++++++++++0----------------0+++++++++++
f  | crescatoare              f(-1) descres. f(1) crecatoare
Deci conform tabelului de semn, f este descrescatoare pe [-1;1]
c)
f"(x)=(f'(x))'=(15(x^2-1))'=(15x^2-15)'=30x
f"(x)=0 => 30x=0 => x=0
x |-∞__________________0_________________∞
f' |---------------------------------0+++++++++++++++++
f  | concava                        f(0) convexa
Deci, f convexa pe [0;∞).

2) a)
Integrala din (x^2-5x) dx= integrala din x^2 dx - integrala din 5x dx = x^3/3-5x^2/2 + C
b)
integrala de la 1 la 2 din f(x)/x dx = integrala de la 1 la 2 din (x^2-5x)/x dx=integrala de la 1 la 2 din (x-5) dx= x^2/2 calculat de la 1 la 2 - 5x calculat de la 1 la 2=2^2/2-1^2/2-5*2+5*1=3/2-5=-7/2
c)
V=π integrala de la 1 la 3 din (x-5)^2 dx= π integrala din (x^2-10x+25) dx=
π (x^3/3 calculat de la 1 la 3 - 5x^2 calculat de la 1 la 3 + 25x calculat de la 1 la 3)=π(27/3-1/3-45+5+75-25)=π(26/3+10)=π*56/3