Subiectul 2. Mate tehnologic bac va rog muuult!
Răspunsuri la întrebare
Salut, ai rezolvările în cele două imagini atașate.
Exercitiul 1
Punctul a)
Se inlocuieste m cu -1 si se calculeaza determinantul matricei, scazand produsul termenilor de pe diagonala secundara din produsul termenilor de pe diagonala principala (pe scurt, se aplica regula clasica de calcul a determinantului de ordin 2).
Punctul b)
Se inmulteste cinstit, pe linii si coloane, matricea A(m) cu A(-1). Se ajunge tot la A(-1), ceea ce inseamna ca orice matrice de forma A(m) inmultita cu A(-1) va da tot A(-1).
Punctul c)
Ne folosim de ceea ce am invatat la punctul anterior.
Observam ca matricea B este de fapt un produs de matrice de forma A(m), care il contine si pe A(-1).
Am rescris matricea B pentru a evidentia acest lucru, notand tot ceea ce este inaintea lui A(-1) cu A(a) si tot ceea ce este dupa A(-1) cu A(b). Pe baza observatiilor de la punctul anterior, B = A(-1) deci determinantul lui B va fi egal cu determinantul lui A(-1) , care stim ca este 0 deoarece l-am calculat la punctul a.
Exercitiul 2
Am ales sa scriu legea de compozitie sub o alta forma, cu care putem lucra mai usor. L-am scris pe -20 ca -25 + 5, ca sa pot da factor comun pe (x - 5).
Punctul a)
In noua definitie a legii de compozitie, se inlocuieste cinstit pe x cu -1/5 si pe y cu 5. Observam ca cea de-a doua paranteza va fi egala cu zero, deci rezultatul final este 5.
Punctul b)
Am aplicat definitia elementului neutru, l-am trecut pe x in partea cealalta si am scos pe -1 factor comun fortat pentru a putea inversa semnul, transformandu-l pe 5 - x in x - 5, si astfel putand sa dau factor comun pe x - 5.
Intrucat egalitatea trebuie sa fie adevarata pentru orice x ∈ R, inseamna ca paranteza care il contine pe elementul neutru trebuie sa fie egala cu zero. De acolo il aflam pe e.
Punctul c)
Am inlocuit in legea de compozitie pe x cu 1/n si pe y cu n. Am efectuat toate amplificarile necesare pentru a-l scrie pe 1/n * n ca o singura fractie, apoi l-am trecut pe n din membrul drept in membrul stang (cu semn schimbat), astfel incat in membrul drept sa ne ramana doar zero.
Am obtinut o fractie care trebuie sa fie negativa. Punand conditiile de existenta si rezolvand ecuatia de gradul al doilea, vei obtine ca n ∈ (-∞, 0) U (1/4, 5).
Insa noi stim ca n este un numar natural, deci singurele valori care convin sunt 1, 2, 3 si 4.
Spor!
