Question

Subpunctul b de la A11! Va roog mult!!

Answer 1

Folosim formula: $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
Inlocuim in aceasta pe a cu $sin^2x$ si pe b cu $cos^2x$
Obtinem: $(sin^2x+cox^2x)^3=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3+3sin^2xcos^2x(sin^2x+cos^2x) \\ 1=sin^6x+cos^3x+3sin^2xcos^2x$ (am tinut cont de faptul ca $sin^2x+cos^2x=1$)
Deci $sin^6x+cos^3x=1-3sin^2xcos^2x$
Din inegaliatea mediilor(media geometrica mai mica decat media aritmetica) avem:$\sqrt{sin^2xcos^2x} \leq \frac{sin^2x+cos^2x}{2} = \frac{1}{2}$
Ridicand la patrat, apoi inmultind inegalitatea cu -3 (la inmultirea unei inegalitati cu nr negativ se schimba sensul!!!) si adunand 1 obtinem: 
[tex]sin^2xcos^2x \leq \frac{1}{4} \\ -3 sin^2xcos^2x \geq -\frac{3}{4} \\ 1-3 sin^2xcos^2x \geq 1-\frac{3}{4} \\ 1-3 sin^2xcos^2x \geq \frac{1}{4}[/tex], deci 
$sin^6x+cos^3x\geq \frac{1}{4}$, ceea ce trebuia demonstrat.