Question

Suma a 29 de numere este egală cu 2016.Împărțind fiecare dintre aceste numere la numărul natural n,obținem resturile egale cu 3 sau cu 4.Suma tuturor acestor resturi este egală cu 92.a).Câte resturi,dintre cele 29 sunt egale cu 3? b).Determinați cel mai mic număr natural n, care satisface condiția din problemă.

Answer 1

a) Presupunem prin absurd ca toate resturile sunt de 3. Astfel suma lor va fi:
3×29=87
Dar suma lor este 92.
92-87=5

Observam ca 4-3=1, mai putem adauga la 5 dintre resturi cate 1 ca sa le transformam in resturi de 4.

Daca 5 dintre resturi sunt de 4, 29-5=24 dintre ele sunt de 3.

24 de resturi sunt egale cu 3.

b)
x:n=a₁ rest 3
x=n×a₁+3

Suma va fi egala cu:

2016=n×a₁+n×a₂+n×a₃+...+n×a₂₉+24×3+5×4
2016-92=n×a₁+n×a₂+n×a₃+...+n×a₂₉
1924=n(a₁+a₂+a₃+...+a₂₉)

Pentru ca cel mai mare rest la impartirea cu n este 4, n trebuie sa fie cel mai mic numar mai mare ca 4, dar la care 1924 se imparte exact. Acest numar este  13.