Question

Suma a doua numere 180 iar cel mai mare divizor comun alor este 15. Sa se afle numerele

Answer 1

Salut!

* * * *

Cerință: Suma a doua numere 180 iar cel mai mare divizor comun alor este 15. Sa se afle numerele

Notez cu a și b cele două numere.

a+b=180

(a, b)=15=>a=15m și b=15n, iar (m, n)=1.

Am scris pe a și b în funcție de două variabile pe care le voi înlocui în suma dată.

15m+15n=180

Dând factor comun 15, obțin:

15(m+n)=180 /:15 (împart toată relația prin 15)           180:15=12

    m+n=180/15                                                            15                                                                                

    m+n=  12                                                                 __

                                                                                    =30

                                                                                      30

                                                                                      __

                                                                                      ==

Acum voi încerca să găsesc perechile de numere care, însumate, dau 12, dar sunt și prime între ele, după cum am precizat anterior.

(m, n)∈{(1, 11); (11, 1); (5, 7); (7, 5)}

a=15m și b=15n. Deci, a și b sunt de 15 ori mai mari decât m, respectiv, n.

Pentru a ,,economisi'' timp aflând numerele a și b, vă sugerez o formulare mai rapidă. Adică, NU voi scrie:

a=15*1=15

b=15*11=165

a=15*5=75

b=15*7=105

Ci voi scrie:

(m, n)∈{(1, 11); (11, 1); (5, 7); (7, 5)} /*15, înmulțesc toată relația cu 15 și obțin la fel pe a și pe b. Mai simplu, nu?

(a, b)∈{(15, 165); (165, 15); (75, 105); (105, 75)}

Verificare:

• 15+165=180                     75+105=180

        15=3*5                            75=5²*3

       165=3*5*11                       105=3*5*7

        ________                      _________

      (15, 165)=3*5=15               (75, 105)=5*3=15

Dintre 5 și 5², aleg ca factor comun 5, nu 5². Am precizat că puterea trebuie să fie cât mai mică. Puterea unui număr care nu apare este, evident, 1.

Analog pentru (165, 15) și (105, 75). Soluțiile verifică cerința.

* * * *

Observații:

• Cel mai mare divizor comun se notează într-o paranteză rotundă, calculându-se drept produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică. În schimb, cel mai mic multiplu comun se notează într-o paranteză pătrată, calculându-se drept produsul factorilor comuni și necomuni la puterea cea mai mare.

De pildă: Calculați cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 15.

Descompun numerele în produs de factori primi. Ce sunt numerele prime? Sunt cele care au ca divizori pe 1 și pe numărul însuși: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. .

20=2²*5                            20=2²*5            

15=3*5                               15=3*5

_______                           ________

(20, 15)=5                          [20, 15]=2²*3*5=4*3*5=12*5=60

În stânga am calculat cel mai mare divizor comun. 5 este boldat (îngroșat) pentru a evidenția faptul că este unul din factorii COMUNI.

În general, numerele mai mari se descompun la dreapta cu bară.

Descompunerea numărului 165 de mai sus se scrie așa:

                                                                                              165I5

                                                                                                33I3

                                                                                                 11I11

                                                                                                  1

În stânga bării se scrie numărul care trebuie descompus, 165. La dreapta unul dintre divizorii acestuia, 5 (un număr la care 165 se poate împărți). Din nou, la stânga, rezultatul obținut al împărțirii lui 165 la 5, adică 33. În dreapta lui 33 se scrie alt divizor de-al său 3. Și așa mai departe. 1 rămâne mereu singur.

• (m, n)=1 se citește m și n sunt prime între ele, adică au ca cel mai mare divizor comun pe 1.