Question

Suma a trei numere naturale consecutive este 3 la puterea 2012 . Care este ultima cifra a produsului celor trei numere? Ma puteți ajuta, va rog?

Answer 1

a+(a+1)+(a+2)=$3^{2012}$

3a+3=$3^{2012}$

3(a+1)=$3^{2012}$

a+1=$3^{2011}$

Puterile lui 3, de forma $3^{n}$ au ultima cifra {1, 3, 9, 7} pentru n de forma 4k, 4k+1, 4k+2, respectiv 4k+3 (adica se repeta pentru puteri din 4 in 4).

Ultima cifra a produsului a(a+1)(a+2) este data de produsul ultimei cifre a fiecaruia dintre numere, adica:

U( a(a+1)(a+2))=U(U(a)*U(a+1)*U(a+2))

2011=4*502+3=4k+3, deci

U(a+1)=U($3^{2011}$)=7

a=(a+1)-1=$3^{2011}$-1, deci:

U(a)=U($3^{2011}$-1)=U($3^{2011}$)-1=7-1=6

a+2=(a+1)+1=$3^{2011}$+1, deci:

U(a+2)=U($3^{2011}$+1)=U($3^{2011}$)+1=7+1=8

Asadar:

U( a(a+1)(a+2))=U(U(a)*U(a+1)*U(a+2))=U(6*7*8)=6