Question

Suma a trei numere naturale nenule este 111. Împărţindu-le la același număr natural nenul se obțin câturile numere naturale consecutive în ordine crescătoare, respectiv resturile 1, 2, 3. Aflaţi cele trei numere.

Answer 1

Am atasat rezolvarea!

Answer 2

Păi notăm cu p, p+1 și p+2 cele trei numere consecutive, și cu X numărul natural nenul la care se împart ele.

Avem atunci că 111 e suma a trei elemente:
p*X + 1
(p+1)*X + 2
(p+2)*X + 3

dacă însumăm ,avem că
p*X + 1 + (p+1)*X + 2 + (p+2)*X + 3 = 111
adică
p*X + 1 + p*X+ X + 2 + p*X+2*X + 3 = 111
adică
3*p*X + 3*X + 6 = 111

Simplificăm cu 3
p*X + X + 2 =  37
adică 
p*(X+1) = 35

Descompunerea lui 35 în factori este fie 1*35, fie 7*5, deci avem patru combinații pentru p și X+1, anume
A) p=1, X+1 = 35
B) p=35, X+1 = 1
C) p=5, X+1 = 7
D) p=7, X+1 = 5

Cele trei numere pe care le căutăm și care însumate trebuie să dea 111 sînt: 
p*X + 1 
(p+1)*X + 2 
(p+2)*X + 3 
că așa le-am introdus noi în ecuație.

Și atunci:
A) pentru combinația p=1, X=34 numerele căutate sînt 35, 68, 102, care însumate nu dau 111, deci n-avem nici o soluție aici
B) pentru combinația p=35, X=0 numerele căutate sînt 1, 2, 3, care însumate nu dau 111, deci n-avem nici o soluție aici
C) pentru combinația p=5, X=6 numerele căutate sînt 31, 38, 45, care însumate nu dau 111, deci n-avem nici o soluție aici
D) pentru combinația p=6, X=5 numerele căutate sînt 31, 37, 43, care însumate dau 111, deci aceasta este soluția. Numerele se îmaprt la 5, și dau cîturile 6, 7 și 8 (consecutive), și resturile 1, 2 și 3.