Suma a zece numere naturale distincte este 62.Să se arate că produsul lor se împarte exact la 60.
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
Notăm numerele cu ai (a indice i), unde i, natural, ia valori de la 1 la 10, cele 10 numere naturale distincte.
Rezolvarea presupune găsirea tuturor soluțiilor în N ale ecuației:
(1) a1+a2+...+a10=62. Presupunând că a1<a2<...<a10, căutăm valoarea maximă a lui a10, adică diferența dintre 62 și valoarea minimă pe care o poate lua suma a1+a2+...+a9. Cum această valoare minimă este dată de 1+2+...+9=45, rezultă a10=62-45=17. Aceasta înseamnă că, pentru orice ai>17, nu există 9 numere naturale distincte care să satisfacă (1).
Deci, o soluție a (1) este 1,2,3,4,5,6,7,8,9,17.
Dacă a10=16, se observă ușor că unica soluție este a9=10, soluțiile mai mici rămânând neschimbate deoarece s-ar încălca ipoteza numerelor distincte.
Dacă a10=15, soluțiile pentru satisfacerea (1) sunt a9=11 sau a8=10.
Dacă a10=14, soluțiile pentru satisfacerea (1) sunt a9=12 sau a8=11 sau a7=10.
Dacă a10=13, soluțiile pentru satisfacerea (1) sunt a8=12 sau a7=11 sau a6=10.
Dacă a10=12, a9=13 sau a6=11 sau a5=10. Acestea sunt toate situatiile posibile. De aici incolo, lucrurile se repeta.
Constatăm că setul de soluții în N ale (1) conține totdeauna tripleta 3,4,5, iar in ultimul caz analizat avem ori tripleta 3,4,5, ori dubletul 6, 10, ori dubletul 5, 12. Cum 3*4*5=60, 6*10=60 si 5*12=60 rezultă că 60 este, în orice situație, un divizor al produsului a1*a2*...*a10.
Sper că te-am ajutat!