Question

Suma lui Gauss teoria

Answer 1

   
S-a intamplat atunci cand Gauss era in elev clasa a 4-a la varsta aproximativa de 10-12 ani.
La un moment dat profesorul observa ca elevul Gauss nu e atent si deranjeaza ora.  
Atunci profesorul a hotarat sa-i dea o pedeapsa care sa-l tina ocupat toata ora. I-a dat sa adune toate numerele naturale de la 1 la 100, fiind convins ca aceasta munca il va ocupa pe Gaus multe ore.
Gaus a inteles ca e mult de lucru si cauta idei sa scape repede de pedeapsa.
A scris asa:

S =  1  + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100    A poi a scris numerele descrescator.
S =100+99+98+ ... + 3    + 2   +  1
  
In acest moment se prinde ca adunand primul termen de sus cu primul termen de jos se obtine 101 si tot 101 se obtie daca aduna al doilea de sus cu al doilea de sus si asa mai departe. A scris asa:

   S =   1   +   2 +  3  + ... + 98 + 99 + 100 
   S = 100 + 99 + 98 + ... +   3 +   2 +     1
 ------------------------------------------------------
2S =  101 +101+101+ ... + 101+101+101 

2S = 100 × 101

 S  = (100 × 101) / 2 = 50 × 101 = 5050
Practic a descoperit formula care-i poarte numele fiind elev in clasa a 4-a.

In mai putin de 10 minute elevul Gauss se ridica si-i spune profesorului ca a terminat de calculat.
Profesorul revoltat ii spune ca sa nu avea cum sa termine, iar Gauss  duce la profesor calculele.
Profesorul a ramas impresionat si il duce pe Gaus la editura unei reviste de matematica, il prezinta pe elev si le spune ce descoperire a facut.
Acestia au publicat imediat descoperirea si a devenit celebru fiind elev in scoala primara. 

Dealii:
Suma lui Gauss se aplica la sume de numere multe care sunt in progresie aritmetica.
Formula generala este:

S = (Numarul de termeni al sirului) × (Suma dintre primul si ultimul termen) totul supra 2.

[tex]\displaystyle\\ \texttt{Exemplu:}\\ 25 + 28 + 31+34+~\cdots~+ 1000= ?\\ _\texttt{\bf Pasul 1: Verificam daca ultimul termen face parte din sir.}\\ _\texttt{\bf Observam ca avem o progresie aritmetica cu ratia r = 3 }\\ _\texttt{\bf si fiecare termen este cu 1 mai mare decat un multiplu al lui 3.} [/tex]

[tex]\displaystyle\\ \texttt{Ultimul termen este }1000 = 999 + 1 ~\texttt{ unde } ~999~ \vdots ~3 ~\Rightarrow~OK\\\\ _\texttt{Pasul 2: Calculam n = numarul de termeni ai sirului cu formula.}\\\\ n = \frac{_\texttt{Ultimul termen} _{\bf-} _\texttt{Primul termen}}{_\textt{Ratia}}+1 \\\\ n= \frac{1000-25}{3}+1=\frac{975}{3}+1= 325+1=326\texttt{ de termeni}\\\\ _\texttt{Pasul 3: Aplicam formula lui Gauss.}\\\\ S = \frac{_\text{Numarul de termeni al sirului}~_\times _(_\text{Ultimul termen + primul ter}_)}{2}[/tex]


[tex]\displaystyle\\ 25 + 28 + 31+34+~\cdots~+ 1000 = \frac{326(1000+25)}{2} =\\\\ = \frac{326\times1025}{2} = 163 \times 1025 = \boxed{\bf 167075}[/tex]