Question

suma masurilor compldementului a 15 unghiuri exprimate in grade si numere naturale este1234de grade.Aratati ca cel mai putin doua unghiuri sunt congruentr

Answer 1

Salut,

Plec de la ideea că niciun unghi nu are 0° (0 este număr natural, dar în enunț nu scrie că măsurile unghiurilor ar fi numere naturale nenule).

Notăm cu U1, U2, ..., U15 cele 15 unghiuri și cu C1, C2, ..., C15 complementele celor 15 unghiuri. Conform enunțului avem că:

C1 = 90° - U1
C2 = 90° - U2
...
C15 = 90° - U15.

Dacă adunăm membru cu membru toate cele 15 relații de mai sus avem că:

C1+C2+...+C15 = 15·90° - (U1+U2+...+U15), sau:

C1+C2+...+C15 = 1350° - (U1+U2+...+U15)

Tot din enunț avem că:

C1+C2+...+C15 = 1234°, deci ar rezulta că

1234° = 1350° - (U1+U2+...+U15), deci:

U1+U2+...+U15 = 1350° - 1234° = 116°.

Suma măsurilor celor 15 unghiuri este deci 116°, iar fiecare valoare este un număr natural.

Presupunem că fiecare dintre cele 15 unghiuri are valoarea minimă posibilă, iar cele 15 valori sunt distincte (diferite între ele) adică:

U1 = 1°;
U2 = 2°;
...
U15 = 15°.

Suma lor este:

U1+U2+...+U15 =  1°+2°+...+15° = 15°·16°/2 = 120° (formula lui Gauss, știai nu ?).

Dar din cele de mai sus avem că suma lor este 116° < 120°.

Asta înseamnă că cele 15 valori nu pot fi distincte (dacă ar fi distincte, suma ar fi 120° > 116°). De aici rezultă clar că cel puțin 2 unghiuri sunt congruente, ceea ce trebuia demonstrat.

Ai înțeles ?

Green eyes. 

Answer 2

Definitie: Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este egala cu 90°

Fie u1 primul unghi, u2 al doilea unghi, ..., u15 al cincisprezecelea unghi.
Din enunţ avem că:
(90 - u1) + (90 - u2) +...+(90 - u15)=1234°,
sau 90×15-(u1 + u2+...+ u15)=1234, deci:

u1 + u2 +...+ u15 = 90×15-1234⇒ sau u1 + u2 +...+ u15 = 116

Presupunem că toate măsurile unghiurilor ar fi diferite între ele şi unghiurile ar avea cele mai mici valori naturale posibile ⇒

u1=1°, u2=2°, ..., u15 = 15°.
Le adunăm si observăm că suma lor este 120:
1 + 2 + 3 + 4+ ...+ 15 = (15×16)/2 (suma Gauss cu formula de calcul S=[n(n+1)]:2
  Suma va fi: 1 + 2 + 3 +...+ 15 = (15 × 16)/2 =120°
Deci suma minima posibilă ar fi 120°.
Dar suma lor (este de fapt din calcul=116°) este mai mică decât cea minimă posibilă (120°) deci rezultă că cel puţin 2 unghiuri sunt congruente.