Question

suma masurilor complementelor a 15 unghiuri exprimate in grade si numere naturale este 1234 . aratati ca cel putin doua unghiuri sunt congruente.

Answer 1

Fie a1, a2,,,,,a15 cele 15 unghiuri:

(90-a1)+(90-a2)+...+(90-a15)=1234
15x90-(a1+a2+...+a15)=1234
a1+a2+...+a15=1350-1234
a1+a2+...+a15=116

Presupunem ca unghiurile sunt diferite si ca au valori minime (incepand de la 1 grad):

1+2+3+...+15=(formula lui Gauss)=(15x16)/2=15x8=120>116

Deci pt. a obtine 116 trebuie ca cel putin doua unghiuri sa fie congruente.
De exemplu: din 15 scadem 4, obtinem suma 116 si doua unghiuri de 11 grade sau din 13 si din 7 scadem cate 2, obtinem suma 116 si cate doua unghiuri de 11 si respectiv 5 grade.