Question

Suma (poza)este egala cu

Answer 1

S = 1 + 2•2 + 3•2² + 4•2³ + ... + 100•2⁹⁹

S(x) = Σₖ₌₁¹⁰⁰ (k•xᵏ⁻¹)

Integrez în funcție de x:

∫ S(x) dx = Σₖ₌₁¹⁰⁰ (xᵏ) + C

∫ S(x) dx = x+x²+x³+...+x¹⁰⁰ + C

∫ S(x) dx = x•(x¹⁰⁰ - 1)/(x-1) + C

∫ S(x) dx = (x¹⁰¹ - x)/(x-1) + C

Derivez:

S(x) = [(101x¹⁰⁰ - 1)(x-1) - (x¹⁰¹ - x)]/(x-1)²

Fac x = 2:

S(2) = 101•2¹⁰⁰ - 1 - 2¹⁰¹ + 2

S(2) = 2¹⁰⁰•(101-2) + 1

⇒ S = 99•2¹⁰⁰ + 1