Question

Suma termenilor progresiei aritmetice a1,a2,.....a2017 cu a1009= 1/2017 este .. Daca se poate sa imi explicati cum faceti ar fi perfect .

Answer 1

Suma are 2017 termeni.

Termenul de la mijloc este a₁₀₀₉.

Termenii simetrici față de termenul din mijloc sunt de forma:

a₁₀₀₉ -kr, a₁₀₀₉ + kr, unde k∈{1, 2, 3, ..., 1008}, iar r este rația progresiei

Suma oricăror termeni simetrici față de a₁₀₀₉ este

a₁₀₀₉ -kr + a₁₀₀₉ + kr = a₁₀₀₉ + a₁₀₀₉ .

Suma totală va fi egală cu 2017·a₁₀₀₉ = 2017·1/2017 = 1

Answer 2

$\boxed{\text{Teoria:}}$

$\boxed{1} ~\text{Pentru progresiile aritmetice la care indicele}\\ \text{ultimului element este impar.}\\ \\ \text{S\u{a} lu\u{a}m de exemplu o progresie simpl\u{a} cu 5 termeni:} \\ 1,3,5,7,9. \\ \\ 1+9 = 10= \dfrac{2S_n}{n} = \dfrac{2\cdot 25}{5}\\\\ 3+7 = 10 =\dfrac{2S_n}{n} = \dfrac{2\cdot 25}{5} \\\\ 5 +5 = 10 = \dfrac{2S_n}{n} = \dfrac{2\cdot 25}{5}$

$\text{S\u{a} generaliz\u{a}m:}\\ \\ a_1+a_n = \dfrac{2S_n}{n} \\ a_2+a_{n-1} = \dfrac{2S_n}{n} \\ \\ a_{3}+a_{n-2} = \dfrac{2S_n}{n}\\ \\.............................. \\ \\ a_{\frac{n+1}{2}-1} + a_{\frac{n+1}{2}+1} = \dfrac{2S_n}{n}\\ \\ a_{\frac{n+1}{2}}+a_{\frac{n+1}{2}}= \dfrac{2S_n}{n}$

$\boxed{2}~~\text{Pentru progresiile aritmetice la care indicele ultimului element este par.}$

$\text{S\u{a} lu\u{a}m de exemplu o progresie simpl\u{a} cu 8 termeni.}\\ 1,6,11,16,21,26,31,36. \\ \\ 1+36 = 37 = \dfrac{2S_{8}}{8} = \dfrac{2\cdot 148}{8} = 37 \\ \\ 6+31 = 37 = \dfrac{2S_{8}}{8} = \dfrac{2\cdot 148}{8} = 37 \\ \\ 11 + 26 = 37 =\dfrac{2S_{8}}{8} = \dfrac{2\cdot 148}{8} = 37 \\ \\ 16+21 = 37 = \dfrac{2S_{8}}{8} = \dfrac{2\cdot 148}{8} = 37$

$\text{S\u{a} generaliz\u{a}m:} \\ \\ \text{Se consider\u{a} progresia aritmetic\u{a}: }a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ \\ a_1 + a_n = \dfrac{2S_n}{n} \\ \\ a_{2} +a_{n-1} = \dfrac{2S_{n}}{n} \\ \\ a_{3}+ a_{n-2} = \dfrac{2S_{n}}{n} \\ \\ ................................\\ \\ a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2}+1} = \dfrac{2S_{n}}{n}$

$\text{Pana acum a fost teoria.}$ 

$\boxed{\text{Acum rezolvarea pentru exercitiul nostru: }} \\ \\ \text{Ni se d\u{a} progresia aritmetic\u{a} }: a_1,a_2,a_3,...,a_{2017} \\ \text{\c{s}i c\u{a} } a_{1009} = \dfrac{1}{2017} \\ \\ \text{Observ\u{a}m c\u{a} indicele ultimului termen este impar}\\ \text{inseamna ca avem de a face cu cazul 1 din teoria de mai sus, deci:}$ 

$a_{1} + a_{2017} = \dfrac{2S_{2017}}{2017} \\ \\ a_2+a_{2016}= \dfrac{2S_{2017}}{2017} \\ \\ a_{3} +a_{2015} = \dfrac{2S_{2017}}{2017} \\ \\ ...............................\\ \\ a_{\frac{2017+1}{2}} +a_{\frac{2017+1}{2}} = \dfrac{2S_{2017}}{2017} \\ \\ \\ \Rightarrow a_{\frac{2018}{2}} +a_{\frac{2018}{2}} = \dfrac{2S_{2017}}{2017} \Rightarrow a_{1009} +a_{1009} = \dfrac{2S_{2017}}{2017} \Rightarrow$

$\Rightarrow 2a_{1009} = \dfrac{2S_{2017}}{2017} \Rightarrow S_{2017} = 2017\cdot a_{1009} \Rightarrow S_{2017} = 2017\cdot \dfrac{1}{2017}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \boxed{S_{2017} = 1}$