Question

Suma tutror nr. bipatrate de 3 cifre se poate imparti la 37? justificati raspunsul

Answer 1

notam abc un nr de 3 cifre. daca este bipatrat ,rezulta acb;bac;bca;cab;cba sunt bipatrate si deci este suficient sa determinam bipatratele abc pentru care a<_b<_c 
3<_a+b+c<_27 si deci daca a+b+c=v^2 atunci 
v poate lua valorile 2;3;4;5 

Daca v=2 atunci a+b+c=4 si avem  a=1; b=1; c=2 , nu convine deoarece produsul cifrelor nu este patrat perfect 

Daca v=3 atunci a+b+c=9 si cum a este cea mai mica cifra rezulta a<_3 Pentru a=1 avem ca b+c=8. 
Daca (b=1; c=7);(b=2;c=6);(b=3;c=5) rezulta ca produsul cifrelor nu este patrat perfect. 
Daca (a=1;b=4;c=4) rezulta bipatratul 144 cu ajutorul caruia se obtin bipatratele 414 si 441 
Daca a=2 rezulta b+c=7 cu posibilitatile (b=2;c=5) si (b=3;c=4). In niciunul dintre cazuri produsul nu este patrat perfect 
Daca a=3 rezulta b=c=3 si nici in acest caz produsul nu este patrat perfect 

Daca v=4 rezulta ca a+b+c=16 si cum a este cea mai mica cifra rezulta a<_5. Daca a=1 rezulta ca b+c=15 cu variantele (b=6;c=9) si (b=7;c=8). In niciunul dinre cazuri produsul cifrelor nu este patrat perfect. Daca a=2 rezulta b+c=14 cu posibilitatile (b=5;c=9); (b=6;c=8);(b=7;c=7). In niciunul dintre cazuri produsul nu este patrat perfect. Daca a=3 rezulta b+c=13 cu posibilitatile (b=4;c=9);(b=5;c=8);(b=6;c=7). In niciunul dintre cazuri produsul nu este patrat perfect. Daca a=4 rezulta 
b+c=12 cu posibilitatile (b=5;c=7);(b=6;c=6). In niciunul dintre cazuri produsul nu este patrat perfect. Daca a=5 rezulta b+c=11 si deci b=5;c=6. Produsul cifrelor nu este patrat perfect 

daca v=5 rezulta a+b+c=25 si deci a poate lua valorile 7 sau 8 (pentru a<7 rezulta b+c>18, imposibil , iar pentru a=9 rezulta b=c=9 si deci a+b+c=27 contradictie). 
Daca a=7 rezulta b+c=18 si deci b=c=9. Produsul cifrelor nu este patrat perfect 
Daca a=8 rezulta b+c=17 si deci b=8; c=9 rezulta bipatratul 889 cu ajutorul caruia se obtin bipatratele 898 si 988. 

In concluzie bipatratele de 3 cifre sunt 144;414;441;889;898;988 iar suma lor se divide cu 37