Question

t mai mic decât 13/14+14/15+15/16+...19/20 mai mic decât t+1. care este numărul t care îndeplinește condiția

Answer 1

$t<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20} < t+1$

Observăm că suma are (19-13)+1 = 7 termeni.

Fiecare termen este de forma:

$\frac{k}{k+1} = 1-\frac{1}{k+1}$

Voi scrie câte o inegalitate pentru fiecare termen al sumei, în total vor fi 7 inegalități.

Știm că $\frac{13}{14} = \frac{14-1}{14} = \frac{14}{14}-\frac{1}{14} = 1-\frac{1}{14}$.

Astfel deoarece $\frac{1}{7}>\frac{1}{14}\Rightarrow -\frac{1}{7} <-\frac{1}{14}\Rightarrow 1-\frac{1}{7}<1-\frac{1}{14}$,

la fel se întâmplă și cu ceilalți 6 termeni fiindcă numitorul lor este > 7.

Adăugăm și faptul că fiecare termen este < 1.

$\\\left|\begin{array}{c} 1-\frac{1}{7} < 1-\frac{1}{14}<1\\\\ 1-\frac{1}{7} < 1-\frac{1}{15}<1\\\\1-\frac{1}{7} < 1-\frac{1}{16}<1\\ \\ \vdots\\ \\ 1-\frac{1}{7}<1-\frac{1}{20}<1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left|\begin{array}{c} 1-\frac{1}{7} < \frac{13}{14}<1\\\\ 1-\frac{1}{7} < \frac{14}{15}<1\\\\1-\frac{1}{7} < \frac{15}{16}<1\\ \\ \vdots\\ \\ 1-\frac{1}{7}<\frac{19}{20}<1\end{array}\right.$

$\\\text{(Adun cele 7 inegalitati)}$

$\Rightarrow 1\cdot 7-\frac{1}{7}\cdot 7<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20}<1\cdot 7\\ \\ \Rightarrow 7-1<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20}<7\\\\ \Rightarrow 6<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20}<6+1\\ \\ \Rightarrow \boxed{t = 6}$