Question

Tabelul de variație a funcției f(x) =x la 2 e la x și graficul funcției Dau coroana!! ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f(x) = {x}^{2}{e}^{x}$

domeniul de definiție: x ∈ R

intersecția cu axa Ox:

y = 0 => f(x) = 0 => x = 0 => (0;0)

intersecția cu axa Oy:

x = 0 => f(x) = 0 => (0;0)

asimptotă orizontală: y = 0

derivata de ordin 1:

$f^{\prime}(x) = ({x}^{2}{e}^{x})^{\prime} = 2x{e}^{x} + {x}^{2}{e}^{x} = x{e}^{x}(x + 2)$

$f^{\prime}(x) = 0 = > x{e}^{x}(x + 2) = 0$

$x = 0 = > f(x) = 0$

$x + 2 = 0 = > x = - 2 \\ = > f( - 2) = \frac{4}{{e}^{2} }$

punct de maxim:

$\left( - 2 ;\frac{4}{ {e}^{2} } \right)$

punct de minim:

$\left(0;0 \right)$

monotonie:

$f(x) \: crescătoare: \: - \infty < x < - 2$

$f(x) \: descrescătoare: \: - 2 < x < 0$

$f(x) \: crescătoare: \: 0 < x < + \infty$

derivata de ordin 2:

$f(x)" = (2x{e}^{x} + {x}^{2}{e}^{x})' = {e}^{x}( {x}^{2} + 4x + 2)$

$f(x)" = 0 = > {e}^{x}( {x}^{2} + 4x + 2) = 0$

→

$x_{1} = - \sqrt{2} - 2$

$= > f(- \sqrt{2} - 2) = {e}^{ - \sqrt{2} - 2}(6 + 4 \sqrt{2})$

și

$x_{2} = \sqrt{2} - 2$

$= > f( \sqrt{2} - 2) = {e}^{ \sqrt{2} - 2}(6 - 4 \sqrt{2})$

puncte de inflexiune:

$\left( - \sqrt{2} - 2;{e}^{ - \sqrt{2} - 2}(6 + 4 \sqrt{2})\right) si \left( \sqrt{2} - 2 ;{e}^{ \sqrt{2} - 2}(6 - 4 \sqrt{2})\right)$

$f(x) \: convexa: - \infty < x < - \sqrt{2} - 2$

$f(x) \: concava: - \sqrt{2} - 2 < x < \sqrt{2} - 2$

$f(x) \: convexa: \sqrt{2} - 2 < x < + \infty$