Question

test 1. 2 Figura de mai jos reprezintă o piramidă patrulateră regulată, cu fețele laterale triunghiuri echilaterale. Notăm cu M, N, P şi Q centrele de greutate ale triunghiurilor VAB, VBC, VCD şi VDA. a) Demonstrați că MN || AC. b) Arătați că (MNP)||(ABC). c) Calculați ARIA mnp AABCD d) Dacă E, F, G şi H sunt mijloacele muchiilor AB, BC, CD şi DA, iar VA = 6 cm, calculați produsul tuturor lungimilor muchiilor trunchiului de piramidă EFGHMNPQ.
REPEDE VA ROGGG! DAU COROANAAA!​

Answer 1

Centrul de greutate se afla la intersectia medianelor, la doua treimi de varf si o treime de baza

ΔVAB≡ΔVBC≡ΔVCD≡ΔVDA (triunghiuri echilaterale)

$VM=\frac{2}{3}\cdot m_1$

$VN=\frac{2}{3} \cdot m_2$

Unde $m_1\ si \ m_2$ reprezinta medianele triunghiurilor VAD, respectiv VBC si sunt egale⇒ ΔVMN~ΔVAC $(\frac{VM}{m_1} =\frac{VN}{m_2} )$⇒ MN║AC

Dar MN⊂ (MNP) si AC⊂(ABC)

⇒ (MNP)║(ABC)

ΔMNP triunghi echilateral

$A=\frac{l^2\sqrt{3} }{4}$

L=latura bazei

Dar fetele laterale sunt triunghiuri echilaterale, deci L= latura fetelor laterale

ΔVMN este asemenea cu triunghiul ΔVEF (unde E si F sunt mijloacele laturilor AB si BC)

Din raportul de asemanare vom avea:

$\frac{VM}{VE} =\frac{VN}{VF} =\frac{MN}{EF} =\frac{2}{3}$

AC=L√2

$EF=\frac{L\sqrt{2} }{2} \ (linie \ mijlocie)$

MN=l

$\frac{l}{\frac{L\sqrt{2} }{2} }=\frac{2}{3} \\\\L\sqrt{2} =3l\\\\L=\frac{3l}{\sqrt{2} }$

$\frac{A_{MNP}}{A_{ABCD}}=\frac{\frac{l^2\sqrt{3} }{4} }{L^2} =\frac{\frac{l^2\sqrt{3} }{4}}{\frac{9l^2}{2} } =\frac{\sqrt{3} }{4} \cdot \frac{2}{9} =\frac{\sqrt{3} }{18}$

VA=6 cm

VE, VF, VG, VH sunt mediane intr-un triunghi echilateral, deci vor fi si inaltimi

$VE=VF=VG=VH=\frac{l\sqrt{3} }{2} =\frac{6\sqrt{3} }{2} =3\sqrt{3} \ cm$

$ME=NF=PG=QH=\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} =\sqrt{3} \ cm$

AC=6√2 cm (diagonala in patrat)

EF linie mijlocie in ΔABC (jumatate din baza)

EF=3√2 cm

Analog si GF=GH=HE=3√2 cm

Aplicam raportul de asemanare de mai sus si obtinem:

$\frac{MN}{EF } =\frac{2}{3} \\\\MN=2\sqrt{2}\ cm$

MN=NP=PQ=QM=2√2 cm

Un alt exercitiu gasesti aici: https://brainly.ro/tema/543297

#SPJ1