Testul 3 exercitile 2 si trei va rogg
Răspunsuri la întrebare
2.a)an fiind o progresie aritmetica, orice termen k al acesteia are forma a(k)=a(1)+(k-1)r
Scriem acea relatie pentru k=n+p
a(n+p)=a(1)+(n+p-1)r
O scriem acum pentru k=p
a(p)=a(1)+(p-1)r
Relatia pe care trebuie sa o demonstrezi se scrie deci asa(inlocuind cu relatiile de mai sus):
a(1)+(n+p-1)r=a(1)+(p-1)r+nr
Scadem a(1)
(n+p-1)r=(p-1)r+nr
Dam factor comun pe r
(n+p-1)r=r[(p-1)+n]
(n+p-1)r=r[n+p-1], ceea ce este adevarat
b)Fie progresia aritmetica a(n) cu ratia r si a(k) termenul multiplu de 3.
Cu ajutorul relatiei de la punctul a scriem termenul a(3p+k)=a(k)+3p*r
a(k) este multiplu de 3, 3p*r este multiplu de 3, inseamna deci ca a(3p+k) este multiplu de 3. Inlocuind pe p cu numere naturale putem gasi o infinitate de multipli de 3.
3.a)b2+b4=30
b1b3=36
Fie r ratia. b2=rb1, b4=r^3*b1
b3=r^2b1
Inlocuim:b2+b4=30 => rb1+r^3b1=30 (1)
b1b3=36 => b1*r^2*b1=36 (2)
Din a doua relatie:b1^2*r^2=36
(b1r)^2=36
Deci b1r=+-6
Avem 2 cazuri:
1.b1r=6
Inlocuim in relatia (1):b1r(1+r^2)=30
6(1+r^2)=30
1+r^2=5
r^2=4
r=+-2=>b1=+-3
2.b1r=-6
Inlocuim in relatia (2):b1r(1+r^2)=30
-6(1+r^2)=30
1+r^2=-5
r^2=-6, imposibil.
Deci avem 2 solutii (r, b1)=(2, 3);(-2, -3)
b)Analizam mai intai cazul cand q este diferit de 1.
Sn=b1⋅(q^n−1)/(q−1), unde q este ratia este formula de calcul pentru primii n termeni ai unei progresii.
S6=b1(q^6-1)/(q-1)
S3=b1(q^3-1)/(q-1)
S6=28S3
b1(q^6-1)/(q-1)=28b1(q^3-1)/(q-1)
Impartim cu b1 si apoi inmultim cu q-1
q^6-1=28(q^3-1)
q^6-1=28*q^3-28
Adunam 28
q^6+27=28*q^3
Notam q^3 cu a
a^2+27=28a
a^2-28a+27=0
Rezolvam ecuatia de gradul 2.
delta=28^2-4*27=784-108=676
a12=(28+-rad(676))/2
a12=14+-13
a1=27
a2=1
q^3=27=>q1=3
q^3=1=>q2=1, fals deoarece suntem la cazul q diferit de 1
Analizam a doua relatie din enunt folosind formula pentru Sn.
S5=b1⋅(q^5−1)/(q−1)=242
Inlocuim q:
242=b1(3^5-1)/2=b1(243/2)
Inmultim cu 2
484=243*b1
b1=484/243 ~~ 2
Acum analizam cazul cand q=1.
Avem formula pentru Sn=q*b1=b1
S6=b1
S3=b1
b1=28*b1, rezulta b1=0
Din relatia a doua S5=242
b1=242, fals.
Deci singura solutie este b1=484/243 si q=3