Question

Tetraedrul ABCD are toate muchiile egale cu 10 cm. M,N,P,Q sunt mijloacele lui AB,BC,CD,AD.
a) Aratati ca M,N,P,Q sunt coplanare;
b) Calculati QN.
Multumesc!

Answer 1

In triunghiul ABD, avem egalitatea: 
AM / MB = AQ / QD (M si Q fiind mijloacele laturilor AB SI AD)
Rezulta ca MQ este paralela cu BD (Teorema lui Thales) 

In triunghiul CBD avem egalitatea:
CN / NB = CP / PD (N si P fiind mijloacele laturilor CB si CD)
Rezulta ca NP este paralela cu BD (Teoreme lui Thales)

Daca MQ paralela cu BD si NP paralela cu BD rezulta ca MQ este paralela cu NP
Rezulta ca MQ si NP sunt coplanare deoarece sunt drepte paralele.
Rezulta ca punctele M, N, P, Q sunt coplanare.