Question

Tetraedrul regulat ABCD are muchia de 4 m . Daca M este mijlocul lui (CD) si N lui (AB) , determinati lungimea MN si aratati ca MN⊥AB , MN⊥CD

Answer 1

tetraedru regulat  are fetele triunghiuri echilaterale
consider varful A   si baza BCD
medianele sunt si inaltimi
in triunghiul BCM   CM=4/2=2
BC=4 m
BM=√(4²-2²)=√(16-4)=√12=2√3 m
in triunghiul ACD   CM=4/2=2
AC=4 m
AM=√(4²-2²)=√(16-4)=√12=2√3 m
deci triunghiul BMA este isoscel   rezulta ca NM_I_AB
NM=√[(2√3)²-2²)=√(12-4)=√8=2√2 m
in triunghiul ACB care este echilateral CN inaltime
CN=√(4²-2²)=√(16-4)=√12=2√3 m
in triunghiul ADB care este echilateral ND inaltime
ND=√(4²-2²)=√(16-4)=√12=2√3 m
rezulta ca triunghiul CND isoscel deci NM care este mediatoare este si inaltime deci
NM_I_CD