Question

[tex]1.Calculati\ urmatoarele\ sume,demonstrand\ rezultatul\ prin\ inductie\\
matematica:(va\ rog,\ rezolvati\ doar\ sumele,\ inductia\ o\ pot\ face\ si\ \\
singur)\\
\\
a)S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!},n \in N^*\\
b)S_n=1*1!+2*2!+3*3!+....+n*n!\\
c)S_n=1+2+2^2+2^3+....+2^n,n \in N^*
[/tex]

Answer 1

a.      k / ( k +1) !   = k  / k! · ( k +1)   = ( k + 1 - 1 )  / k! · ( k +1) = 
        = [ ( k + 1)     - 1 ]  / k! · ( k +1)   =
         =  [ ( k+ 1)  / k! · ( k +1) ]    - [ 1   /  k! · ( k + 1)  ] 
          =       1 /  k !     -   1 / k ! · ( k + 1) 
 deci  =   1 / k !     -   1 / ( k+ 1) ! 
 daca construim suma = ( dupa reduceri ) = 1 / 1!   -  1 / ( n +1) ! 
                 
 b.        n · n!  = ( n + 1 - 1) · n!  = [( n + 1) - 1 ] · n ! 
               = ( n + 1) ·n!  - n!  = ( n + 1) !   -  n! 
 1 · 1!   = 2!  - 1 ! 
  2 · 2!  =  3!  - 2!  
  3 · 3!  = 4!  - 3! 
.............................
n·( n +1) ! = ( n +1)!  - n! 
-------------------------------------------------
suma = ( n +1)!   - 1! 
c. progresie geometrica  de ( n + 1) termeni 
                           cu  b₁ = 1   si ratia  q = 2 
suma  = b₁ [ q ( la puterea  n + 1)   - 1 ]  / ( q -1) 
              = 1  [   2 ( la puterea  n +1)   -   1 ]  / ( 2 -1)

Answer 2

$a)~ \frac{k}{(k+1)!}= \frac{(k+1)-1}{(k+1)!}= \frac{1}{k!}- \frac{1}{(k+1)!} . \\ \\ \sum\limits^n_{k=1} \frac{k}{(k+1)!}= \sum\limits^n_{k=1} \Big( \frac{1}{k!}- \frac{1}{(k+1)!} \Big)= \frac{1}{1!}- \frac{1}{2!}+ \frac{1}{2!}- \frac{1}{3!}-+...+ \frac{1}{n!}- \frac{1}{(n+1)!}= \\ \\ =1- \frac{1}{(n+1)!} . \\ \\ Demonstratie~prin~inductie:~ \\ \\ i)~n=1~adevarat~( \frac{1}{2!}= 1-\frac{1}{2!}).$

$ii)~Presupunem~ca~propozitia~este~adevarata~pentru~n=t \in N^*~si~ \\ \\ demonstram~ca~este~adevarata~si~pentru~n=t+1. \\ \\ \sum\limits^{n+1}_{k=1} \frac{k}{(k+1)!}= \sum\limits^n_{k=1} \frac{k}{(k+1)!}+ \frac{n+1}{(n+2)!}= 1- \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{n+1}{(n+2)!}= 1- \frac{n+2}{(n+2)!} + \\ \\ + \frac{n+1}{(n+2)!} =1- \frac{1}{(n+2)!}.$

$b)~k \cdot k!=((k+1)-1) k!=(k+1)k!-k!=(k+1)!-k!. \\ \\ S_n=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+1)!-n!=-1+(n+1)! \\ \\ Deci~S_n=(n+1)!-1. \\ \\ Demonstratie~prin~inductie: \\ \\ i)~S_1=1 \cdot 1!=2!-1,~adevarat. \\ \\ ii)~Clasica~presupunere... \\ \\ S_{n+1}=S_n+(n+1) \cdot (n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!= \\ \\ =(n+1)!(n+1+1)-1=(n+2)!-1.$

$c)~S_n=1+(2+2^2+2^3+...+2^{n-1}+2^n) \\ \\ ~~~2S_n=(2 + 2^2+2^3+2^4+...+2^n)+2^{n+1} \\ ---------------- \\ ~~~2S_n-S_n=2^{n+1}-1 \Leftrightarrow S_n = 2^{n+1}-1. \\ \\ Demosntratie~prin~inductie: \\ \\ i)~S_1=1+2=2^{1+1}-1~(adevarat). \\ \\ ii)~Clasica~presupunere... \\ \\ S_{n+1}=S_n+2^{n+1}=2^{n+1}+2^{n+1}-1=2 \cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1...gata!$