Question

$1) \frac{ a^{4}- a^{3}-a+1 }{ a^{2}+a+1 }$   2) $(\frac{5a}{a+1} + \frac{5}{a-1} + \frac{10a}{ a^{2} -1 } ) : ( \frac{a}{a+1} + \frac{1}{a-1} + \frac{2a}{ a^{2}-1 } )$ 4) ( $( \frac{ a^{2} }{a+2} - \frac{ a^{3} }{ a^{2} +4a+4} ) : ( \frac{a}{a+2} - \frac{ a^{2} }{ a^{2}-1 } )$

Answer 1

1.           a⁴  -a³ -a +1 = a³ ·( a -1)  - ( a -1) = ( a -1) ·( a³ -1) = 
                                                                                ↓
                                               formula diferenta de cuburi 
                 = ( a -1) ·( a -1) ·(a² + a+ 1)  = ( a -1)² · ( a² + a+1)  
ex = ( a -1) ² · ( a² +a +1)  / ( a² +a +1)     = ( a -1)²
2. prima paranteza  = [5a·( a -1) +5·( a +1)  + 10a ] / ( a +1) ·( a -1) =
                     = [5a² -5a +  5a + 5 + 10a ] / ( a +1)· ( a -1) = 
                       = [5a² + 10a + 5 ] / ( a +1) · ( a -1) = 
                       = 5 · ( a² + 2a + 1)  / ( a +1) · ( a -1) 
                       = 5 · ( a +1)² / ( a + 1) ·( a -1) =
                         = 5 · ( a +1)  / ( a -1) 
paranteza a doua  = [ a·( a-1)  + 1·( a +1) + 2a] / ( a² -1) =
                            = [ a²  - a + a +1 + 2a] / (a² -1) 
                            = ( a + 1)² / ( a +1) · ( a -1) =
                             = ( a +1)  / ( a -1) 
ex. final = 5 · ( a + 1)  /( a -1)       · ( a -1)  /( a +1)    = 5 
3.   a³ + 8 = a³ +2³ = ( a +2) ·( a² -4a + 4) 
   formula suma de cuburi 
prima paranteza = [ a²·( a² -4a + 4) - a³·( a +2) ] / ( a +2) ·( a² -4a + 4) =
                     = [ a⁴  -4a³ +4a²  -a⁴ -2a³ ] / ( a +2) ·(a² -4a +4) = 
                      = [ - 6a³ + 4a² ] / ( a + 2) ·(a² -4a +4) = 
                       = - 2a²·( 3a  -2 ) / ( a +2) ·(a² - 4a + 4)
paranteza a doua = [a·(a² - 1) - a²·( a +2) ] / ( a +2) · ( a² -1) = 
                         = [ a³ -a - a³ - 2a² ] / ( a +2) · ( a² -1) =
                           = [ - a -2a² ] / ( a +2) · ( a² - 1) = 
                          = - a ·( 2a + 1) / ( a +2) · (a² - 1) 
ex= -2a² · ( 3a -2) · ( a +2) · ( a² -1 ) / ( a +2) ·(a² -4a +4) ·( -a) ·( 2a +1) =
    =  2a ·( 3a -2) ·(a² -1) / ( a² -4a +4) ·( 2a +1)