Question

$10^n + 2 = 3\times f(n).$

Să se afle f(n) știind că 10ⁿ + 2 este divizibil cu 3 oricare ar fi n număr natural.

f(n) aparține lui N.

Answer 1

..........................................................................................

Answer 2

f(n)=(10^n  +  2)/3
N={0,1,2,3,...........,n,...............+∞]
Pt n=0: 10^0 + 2  /  3 =1+2  /  3 = 1∈N
Pt n=1: 10^1 +2  /  3 = 12/3 = 4∈N
..........................................................
Presupunem adevarat pt n=k, adica
f(k) = 10^k +2  /  3 ∈ N
V.d. pt n=k+1
f(k+1) = 10^(k+1)  + 2  /  3 = 10*10^k  + 2   /  3  = 10(10^k +2) -18  /  3 =
10(10^k + 2) / 3  -  18/3 =
10*f(k) - 6 = 10*M3 -M3, deci multiplu de 3. c.c.t.d.(ceea ce trebuia demonstrat).