Question

$2 \sqrt[3]{2x - 1} = {x}^{3} + 1$.
are 3 solutii reale,cum ajung la ele ??
​

Answer 1

$2\sqrt[3]{2x-1} = x^3+1$

Notăm:  $f(x) = \sqrt[3]{2x-1}$

$x = \sqrt[3]{2y-1} \Rightarrow x^3 = 2y-1 \Rightarrow y = \dfrac{x^3+1}{2} \\ \\f^{-1}(x) = \dfrac{x^3+1}{2}\Big|\cdot 2 \Rightarrow 2f^{-1}(x) = x^3+1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2f^{-1}(x) = 2f(x) \Rightarrow \boxed{f^{-1}(x) = f(x)}$

Inseamnă că dreapta y = x trece prin punctele de intersecție

ale celor 2 funcții.

$\Rightarrow f^{-1}(x) = x$    si    $f(x) = x$  au aceleași soluții.

$f^{-1}(x) = x \Rightarrow \dfrac{x^3+1}{2} = x$

$\Rightarrow x^3+1=2x \Rightarrow x^3-2x+1 = 0 \Rightarrow x^3-x-x+1 = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x(x^2-1)-(x-1) = 0 \Rightarrow x(x-1)(x+1) - (x-1) =0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (x-1)(x^2+x-1) = 0 \\ \\ x_1 = 1,\quad x_2 = \dfrac{-1-\sqrt 5}{2},\quad x_3 = \dfrac{-1+\sqrt 5}{2}$