Question

$a {}^{2} + b {}^{2} - 2a - 4b + 5 = 0$
aflați

$a {}^{2019} + (b - a) {}^{2019}$
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu :

La astfel de exercitii, daca vezi ca sunt puteri foarte mari, atunci necunoscutele nu pot fi decat 1 sau 0 ( sau diferenta lor ) . --> E o regula generala, nu ar trebui sa te panichezi daca vezi ca puterile sunt foarte mari.

In fine , hai sa revenim.

Primul lucru la care ne gandim la astfel de exercitii este sa formam patrte perfecte.

$a^2+b^2-2a-4b+5=0\\(a^2-2a+1)+(b^2-4b+4)=0\\(a-1)^2+(b-2)^2=0\\\texttt{Stim ca }(a-1)^2\geq 0\texttt{ si }(b-2)^2\geq 0\text { ceea ce inseamna ca egalitatea nu }\\\texttt{poate avea loc decat daca }a-1=0\texttt{ si }b-2=0 \texttt{ concomitent.}\\\left \{ {{a-1=0} \atop {b-2=0}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{a=1} \atop {b=2}} \right.\\\texttt{/*Exact ce ziceam mai sus.*/}\\a^{2019}+(b-a)^{2019}=1^{2019}+(2-1)^{2019}=1+1^{2019}=1+1=\boxed{2}$